Discusión y modificación de sistemas de ecuaciones

**a) (1 punto) Estudiar la compatibilidad del sistema.** Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$. Como es una matriz de dimension $2 \times 3$, el rango máximo posible es $2$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (2)(2) = -1 - 4 = -5 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $2$ distinto de cero, el **rango de $A$ es 2** ($rg(A) = 2$). La matriz ampliada $A^*$ tiene dimensión $2 \times 4$, por lo que su rango máximo también es $2$. Al ser $rg(A) = 2$, automáticamente el **rango de $A^*$ es 2** ($rg(A^*) = 2$). El número de incógnitas es $n = 3$ ($x, y, z$). Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - Como $rg(A) = rg(A^*) = 2$, el sistema es **compatible**. - Como el rango ($2$) es menor que el número de incógnitas ($3$), el sistema es **indeterminado**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $rg(A) = rg(A^*) < n$, el sistema tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.** Para que el sistema sea **Compatible Determinado (SCD)**, necesitamos que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al número de incógnitas, es decir, $rg(A) = 3$. Para ello, añadimos una ecuación que sea linealmente independiente de las dos anteriores. Una forma sencilla es añadir una ecuación que "fije" una de las variables o una combinación simple, por ejemplo: **$z = 0$**. El nuevo sistema sería: $$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 2x - y + z = 3 \\ z = 0 \end{cases}$$ **Razonamiento:** Calculamos el determinante de la nueva matriz de coeficientes $A'$: $$|A'| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila (que tiene dos ceros): $$|A'| = +1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 - 4) = -5 \neq 0$$ Como $|A'| \neq 0$, el $rg(A') = 3$. Al haber 3 incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es Compatible Determinado. 💡 **Tip:** Cualquier ecuación cuyo vector de coeficientes $(a, b, c)$ no sea combinación lineal de $(1, 2, -1)$ y $(2, -1, 1)$ servirá para que el determinante sea no nulo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Ecuación añadida: } z = 0}$$

**c) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.** Para que el sistema sea **Incompatible (SI)**, el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser menor que el rango de la matriz ampliada $A^*$ ($rg(A) < rg(A^*)$). Esto se consigue añadiendo una ecuación cuya parte izquierda sea una combinación lineal de las anteriores, pero cuyo término independiente no respete esa misma combinación. Sumamos las dos ecuaciones originales: $(x + 2y - z) + (2x - y + z) = 3x + y$ El término independiente resultante sería $0 + 3 = 3$. Si añadimos la ecuación **$3x + y = 0$**, forzamos la incompatibilidad. **Razonamiento:** La nueva matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ 1. El $rg(A)$ sigue siendo $2$ porque la tercera fila de coeficientes $(3, 1, 0)$ es la suma de las dos primeras $(1+2, 2-1, -1+1)$. 2. Calculamos el rango de $A^*$ usando un menor que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -3 \cdot (1 - 6) = -3(-5) = 15 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $rg(A^*) = 3$. Dado que $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **incompatible** por el Teorema de Rouché-Frobenius. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Ecuación añadida: } 3x + y = 0}$$