Volumen mínimo de un tetraedro definido por un plano variable

Para encontrar la ecuación del plano $\pi$, necesitamos dos vectores directores que pertenezcan al plano y un punto. Utilizaremos los puntos $A(a, 0, 0)$, $P(1, 2, 1)$ y $Q(2, 1, 1)$. Calculamos los vectores $\vec{AP}$ y $\vec{AQ}$: $$\vec{AP} = P - A = (1-a, 2, 1)$$ $$\vec{AQ} = Q - A = (2-a, 1, 1)$$ El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n} = \vec{AP} \times \vec{AQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1-a & 2 & 1 \\ 2-a & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}((1-a) \cdot 1 - (2-a) \cdot 1) + \mathbf{k}((1-a) \cdot 1 - 2(2-a))$$ $$\vec{n} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1 - a - 2 + a) + \mathbf{k}(1 - a - 4 + 2a)$$ $$\vec{n} = (1, 1, a-3)$$ La ecuación del plano $\pi$ será de la forma $1(x-a) + 1(y-0) + (a-3)(z-0) = 0$: $$\pi \equiv x + y + (a-3)z - a = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un plano queda definido por un punto y dos vectores no paralelos, o bien por su vector normal $(A, B, C)$ en la forma $Ax + By + Cz + D = 0$.

El enunciado indica que el plano corta a los semiejes positivos $OY$ y $OZ$ en los puntos $B$ y $C$. - **Punto B** (corte con el eje $OY$): En el eje $OY$, $x=0$ y $z=0$. $$0 + y + (a-3) \cdot 0 - a = 0 \implies y = a$$ Luego, **$B(0, a, 0)$**. Como $a > 3$, el punto está en el semieje positivo. - **Punto C** (corte con el eje $OZ$): En el eje $OZ$, $x=0$ y $y=0$. $$0 + 0 + (a-3)z - a = 0 \implies (a-3)z = a \implies z = \frac{a}{a-3}$$ Luego, **$C(0, 0, \frac{a}{a-3})$**. Dado que $a > 3$, el denominador $a-3$ es positivo, por lo que $z > 0$ y el punto está en el semieje positivo. 💡 **Tip:** Para hallar los cortes con los ejes coordenados, simplemente igualamos a cero las variables que no corresponden al eje buscado.

El tetraedro tiene sus vértices en $O(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $B(0,a,0)$ y $C(0,0,\frac{a}{a-3})$. Al ser un tetraedro con tres aristas perpendiculares entre sí (coincidentes con los ejes), el volumen es un sexto del producto de las longitudes de dichas aristas. Usando la fórmula del volumen mediante el determinante (producto mixto): $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]| = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a}{a-3} \end{vmatrix} \right|$$ Como es una matriz diagonal, el determinante es el producto de la diagonal principal: $$V(a) = \frac{1}{6} \cdot \frac{a^3}{a-3}$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro con vértices en el origen y sobre los ejes $x, y, z$ en los puntos $(x_0, 0, 0)$, $(0, y_0, 0)$ y $(0, 0, z_0)$ es simplemente $V = \frac{1}{6} |x_0 y_0 z_0|$. $$\boxed{V(a) = \frac{a^3}{6(a-3)}}$$

Para minimizar $V(a)$ en el intervalo $a \in (3, +\infty)$, calculamos su derivada $V'(a)$ e igualamos a cero. $$V(a) = \frac{1}{6} \left( \frac{a^3}{a-3} \right)$$ $$V'(a) = \frac{1}{6} \left[ \frac{3a^2(a-3) - a^3(1)}{(a-3)^2} \right] = \frac{1}{6} \left[ \frac{3a^3 - 9a^2 - a^3}{(a-3)^2} \right] = \frac{1}{6} \left[ \frac{2a^3 - 9a^2}{(a-3)^2} \right]$$ Buscamos los puntos críticos $V'(a) = 0$: $$2a^3 - 9a^2 = 0 \implies a^2(2a - 9) = 0$$ Las soluciones son $a = 0$ (descartada, pues $a > 3$) y **$a = \frac{9}{2} = 4,5$**. 💡 **Tip:** Para derivar un cociente $\frac{u}{v}$, usa $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Estudiamos el signo de $V'(a)$ alrededor de $a = 4,5$ para confirmar que es un mínimo. Como el denominador $(a-3)^2$ y $a^2$ son siempre positivos para $a > 3$, el signo de $V'(a)$ depende únicamente de $(2a - 9)$: $$\begin{array}{c|ccc} a & (3; 4,5) & 4,5 & (4,5; +\infty) \\ \hline V'(a) & - & 0 & + \\ V(a) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - Si $3 < a < 4,5$, $V'(a) < 0$ (la función decrece). - Si $a > 4,5$, $V'(a) > 0$ (la función crece). Por tanto, en $a = 4,5$ hay un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{9}{2} = 4,5}$$