Geometría en el espacio: planos, rectas y distancias

**a) (1 punto) Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $\pi_1$ y $\pi_2$ sean paralelos.** Para que dos planos sean paralelos, sus vectores normales deben ser proporcionales. El plano $\pi_1$ viene dado en su forma general $2x - 3y + z = a$. Por tanto, su vector normal $\vec{n}_1$ se extrae directamente de los coeficientes de las variables: $$\vec{n}_1 = (2, -3, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

El plano $\pi_2$ está definido por dos vectores directores, $v_1 = (0, 2, 6)$ y $v_2 = (1, 0, b)$. El vector normal de este plano, $\vec{n}_2$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n}_2 = v_1 \times v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & b \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n}_2 = (2 \cdot b - 6 \cdot 0)\mathbf{i} - (0 \cdot b - 6 \cdot 1)\mathbf{j} + (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_2 = 2b\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (2b, 6, -2)$$ $$\boxed{\vec{n}_2 = (2b, 6, -2)}$$

Para que $\pi_1 \parallel \pi_2$, los vectores $\vec{n}_1 = (2, -3, 1)$ y $\vec{n}_2 = (2b, 6, -2)$ deben ser proporcionales: $$\frac{2b}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{-2}{1}$$ Observamos que la razón de proporcionalidad es $-2$: 1. $\dfrac{6}{-3} = -2$ 2. $\dfrac{-2}{1} = -2$ 3. Para el primer término: $\dfrac{2b}{2} = -2 \implies b = -2$ Ahora, para que sean paralelos y no coincidentes, el punto $P(0, 2, 4)$ de $\pi_2$ no debe pertenecer a $\pi_1$. Sustituimos $P$ en la ecuación de $\pi_1$: $$2(0) - 3(2) + 1(4) = a \implies -6 + 4 = a \implies a = -2$$ Si $a = -2$, los planos son coincidentes. Para que sean **paralelos estrictos**, debe cumplirse que $a \neq -2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = -2, \quad a \neq -2}$$

**b) (1 punto) Para $a = 1$ y $b = 0$ determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$.** Primero definimos las ecuaciones generales de ambos planos: 1. Para $a = 1$, el plano $\pi_1$ es: $2x - 3y + z = 1$. 2. Para $b = 0$, el vector normal de $\pi_2$ (calculado en el paso 2) es $\vec{n}_2 = (2(0), 6, -2) = (0, 6, -2)$. La ecuación de $\pi_2$ es de la forma $0x + 6y - 2z + D = 0$. Como pasa por $P(0, 2, 4)$: $$6(2) - 2(4) + D = 0 \implies 12 - 8 + D = 0 \implies D = -4$$ Simplificando $6y - 2z - 4 = 0$ entre 2, obtenemos $\pi_2 \equiv 3y - z - 2 = 0$.

La recta $r$ es el sistema formado por ambos planos: $$r \equiv \begin{cases} 2x - 3y + z = 1 \\ 3y - z = 2 \end{cases}$$ Para obtener las paramétricas, resolvemos el sistema en función de un parámetro $\lambda$. Sea $y = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $z = 3y - 2 = 3\lambda - 2$. 2. Sustituimos en la primera: $2x - 3\lambda + (3\lambda - 2) = 1 \implies 2x - 2 = 1 \implies 2x = 3 \implies x = 3/2$. ✅ **Resultado (ecuaciones paramétricas):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = \frac{3}{2} \\ y = \lambda \\ z = -2 + 3\lambda \end{cases}}$$

**c) (1 punto) Para $a = 4$ y $b = -2$ determinar los puntos que están a igual distancia de $\pi_1$ y $\pi_2$.** Con $b = -2$, sabemos por el apartado (a) que los planos son paralelos. Ecuación de $\pi_1$ ($a = 4$): $2x - 3y + z - 4 = 0$. Ecuación de $\pi_2$ ($b = -2$): Del paso 3 sabemos que si $b=-2$, el normal es proporcional a $(2, -3, 1)$ y la constante para pasar por $P$ era $a=-2$, es decir: $2x - 3y + z + 2 = 0$. 💡 **Tip:** El conjunto de puntos que equidistan de dos planos paralelos es un tercer plano paralelo a ambos situado justo en medio (plano bisector).

Sea $X(x, y, z)$ un punto equidistante, se cumple $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$: $$\frac{|2x - 3y + z - 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|2x - 3y + z + 2|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}}$$ $$|2x - 3y + z - 4| = |2x - 3y + z + 2|$$ Esto genera dos posibilidades ($|A|=|B| \implies A=B$ o $A=-B$): 1. $2x - 3y + z - 4 = 2x - 3y + z + 2 \implies -4 = 2$ (Imposible). 2. $2x - 3y + z - 4 = -(2x - 3y + z + 2)$ Resolvemos la segunda opción: $$2x - 3y + z - 4 = -2x + 3y - z - 2$$ $$4x - 6y + 2z - 2 = 0$$ Dividiendo entre 2: $$2x - 3y + z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** Los puntos forman el plano: $$\boxed{2x - 3y + z - 1 = 0}$$