Cálculo de integrales definidas e integración por partes

**a) (1 punto) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} dx$** Observamos que el numerador $x$ es, salvo constantes, la derivada de lo que hay dentro de la raíz en el denominador ($4-x^2$). Esto nos indica que se trata de una integral de tipo potencia (casi inmediata). Reescribimos la expresión para que se ajuste a la fórmula $\int f'(x) [f(x)]^n dx$: $$\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int x(4-x^2)^{-1/2} dx$$ La derivada de $4-x^2$ es $-2x$. Multiplicamos y dividimos por $-2$ para completar la derivada: $$-\frac{1}{2} \int -2x(4-x^2)^{-1/2} dx$$ Ahora aplicamos la regla de integración $\int f'(x) [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}$: $$-\frac{1}{2} \cdot \frac{(4-x^2)^{1/2}}{1/2} = -(4-x^2)^{1/2} = -\sqrt{4-x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx = 2\sqrt{f(x)}$. En este caso, al faltar el $-2$, el resultado final es $-\sqrt{f(x)}$.

Una vez hallada la primitiva $F(x) = -\sqrt{4-x^2}$, aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites de integración $0$ y $1$: $$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \left[ -\sqrt{4-x^2} \right]_{0}^{1}$$ Sustituimos los valores: $$\left( -\sqrt{4-1^2} \right) - \left( -\sqrt{4-0^2} \right) = -\sqrt{3} - (-\sqrt{4}) = -\sqrt{3} + 2$$ Reordenando el resultado: $$\boxed{2 - \sqrt{3}}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es cualquier primitiva de $f$.

**b) (1 punto) $\int_{0}^{\pi} x \cos x dx$** Esta integral es el producto de un polinomio ($x$) y una función trigonométrica ($\cos x$). Para resolverla, utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos $u$ y $dv$ siguiendo la regla **ALPES**: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos x \, dx \implies v = \int \cos x \, dx = \sin x$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Sustituimos en la fórmula de integración por partes: $$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx$$ Calculamos la integral restante: $$\int \sin x \, dx = -\cos x$$ Por tanto, la primitiva es: $$\int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x$$

Evaluamos la primitiva $F(x) = x \sin x + \cos x$ entre los límites $0$ y $\pi$: $$\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx = \left[ x \sin x + \cos x \right]_{0}^{\pi}$$ Efectuamos los cálculos paso a paso: $$F(\pi) = \pi \sin(\pi) + \cos(\pi) = \pi \cdot 0 + (-1) = -1$$ $$F(0) = 0 \sin(0) + \cos(0) = 0 \cdot 0 + 1 = 1$$ Aplicamos la diferencia: $$\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx = F(\pi) - F(0) = -1 - 1 = -2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-2}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con los signos y los valores de las funciones trigonométricas en los ejes: $\sin(\pi)=0$, $\cos(\pi)=-1$, $\sin(0)=0$, $\cos(0)=1$.