Cálculo de límites con la Regla de L'Hôpital

**a) (1 punto) $\lim_{x \to 0} (1 + \arctan x)^{a/x}$** Evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} (1 + \arctan 0)^{a/0} = (1 + 0)^{\infty} = 1^{\infty}$$ Se trata de una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. Para resolverla, utilizaremos la propiedad que relaciona este límite con el número $e$. 💡 **Tip:** Un límite de la forma $\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}$ que presenta la indeterminación $1^{\infty}$ puede calcularse como $e^L$, donde $L = \lim_{x \to c} g(x) \cdot [f(x) - 1]$.

Aplicamos la fórmula $e^{\lim_{x \to 0} g(x)(f(x)-1)}$: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{a}{x} \cdot ((1 + \arctan x) - 1) = \lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \arctan x}{x}$$ Al evaluar de nuevo, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **Regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \arctan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(a \arctan x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \frac{1}{1 + x^2}}{1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\arctan x$ es $\frac{1}{1 + x^2}$.

Sustituimos $x = 0$ en la expresión resultante: $$\lim_{x \to 0} \frac{a}{1 + x^2} = \frac{a}{1 + 0^2} = a$$ Como el límite original era de la forma $e^L$, el resultado final es: ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{e^a}$$

**b) (1 punto) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2e^x}{7x + 5e^x}$** Evaluamos el límite cuando $x \to \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2e^x}{7x + 5e^x} = \frac{\infty + \infty}{\infty + \infty} = \frac{\infty}{\infty}$$ Estamos ante una indeterminación del tipo **$\frac{\infty}{\infty}$**. Aplicaremos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital se puede aplicar tantas veces como sea necesario siempre que se mantenga la indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$.

Derivamos el numerador y el denominador: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2e^x}{7x + 5e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + 2e^x}{7 + 5e^x}$$ Al evaluar de nuevo, persiste la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + 2e^x}{7 + 5e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2e^x}{0 + 5e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{5e^x}$$ Simplificamos el término $e^x$ (que es distinto de cero): $$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{5e^x} = \frac{2}{5}$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\frac{2}{5}}$$