Perpendicular común y mínima distancia entre rectas

**a) (2 puntos) Hallar la ecuación de la recta $t$ que corta a $r_1$ y $r_2$ y es perpendicular a ambas.** En primer lugar, obtenemos un punto y un vector director de cada recta para facilitar el trabajo geométrico. Para $r_1 \equiv \begin{cases} y = 1 \\ z = 3 \end{cases}$, podemos usar el parámetro $\lambda$ para $x$: $$r_1 \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 \\ z = 3 \end{cases} \implies P_1(0, 1, 3), \quad \vec{v}_1 = (1, 0, 0)$$ Para $r_2 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$, hacemos $y = \mu$, lo que implica $z = \mu$: $$r_2 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = \mu \\ z = \mu \end{cases} \implies P_2(0, 0, 0), \quad \vec{v}_2 = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Para pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas, asigna una variable como parámetro (por ejemplo, $x = \lambda$) y despeja las demás.

La recta $t$ debe ser perpendicular tanto a $r_1$ como a $r_2$. Por tanto, su vector director $\vec{v}_t$ será el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas: $$\vec{v}_t = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus (o desarrollo por la primera fila): $$\vec{v}_t = \mathbf{i}(0\cdot 1 - 0\cdot 1) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 0\cdot 0) + \mathbf{k}(1\cdot 1 - 0\cdot 0)$$ $$\vec{v}_t = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0, -1, 1)$$ Cualquier vector proporcional sirve, usaremos $\vec{v}_t = (0, 1, -1)$ para evitar signos negativos innecesarios. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera siempre un vector perpendicular a ambos vectores originales.

Buscamos un punto $A \in r_1$ y un punto $B \in r_2$ tales que el vector $\vec{AB}$ sea paralelo al vector director de la perpendicular común $\vec{v}_t = (0, 1, -1)$. Los puntos genéricos son: $A(\lambda, 1, 3)$ $B(0, \mu, \mu)$ El vector $\vec{AB}$ es: $$\vec{AB} = B - A = (0 - \lambda, \mu - 1, \mu - 3) = (-\lambda, \mu - 1, \mu - 3)$$ Como $\vec{AB}$ debe ser perpendicular a $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$, planteamos el sistema: 1) $\vec{AB} \cdot \vec{v}_1 = 0 \implies (-\lambda, \mu - 1, \mu - 3) \cdot (1, 0, 0) = 0 \implies -\lambda = 0 \implies \mathbf{\lambda = 0}$ 2) $\vec{AB} \cdot \vec{v}_2 = 0 \implies (-\lambda, \mu - 1, \mu - 3) \cdot (0, 1, 1) = 0 \implies (\mu - 1) + (\mu - 3) = 0 \implies 2\mu - 4 = 0 \implies \mathbf{\mu = 2}$ Sustituyendo los valores: $A(0, 1, 3)$ $B(0, 2, 2) El vector $\vec{AB} = (0, 2-1, 2-3) = (0, 1, -1)$, que coincide con la dirección buscada.

Conocidos los puntos de corte $A(0, 1, 3)$ y $B(0, 2, 2)$, la recta $t$ es la que pasa por ambos. Utilizamos el punto $A(0, 1, 3)$ y el vector $\vec{v}_t = (0, 1, -1)$: $$t \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 + \alpha \\ z = 3 - \alpha \end{cases}$$ ✅ **Resultado (recta t):** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y + z = 4 \end{cases}}$$ *(Nota: Se puede expresar en paramétricas o como intersección de planos)*.

**b) (1 punto) Hallar la mínima distancia entre $r_1$ y $r_2$.** La mínima distancia entre dos rectas que se cruzan coincide con el módulo del segmento de la perpendicular común que las une, es decir, la distancia entre los puntos $A$ y $B$ hallados anteriormente. Dados $A(0, 1, 3)$ y $B(0, 2, 2)$: $$d(r_1, r_2) = d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(0-0)^2 + (2-1)^2 + (2-3)^2}$$ $$d(r_1, r_2) = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ 💡 **Tip:** También se podría usar la fórmula de la distancia entre rectas que se cruzan mediante el producto mixto: $d = \frac{|[\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2]|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r_1, r_2) = \sqrt{2} \text{ unidades de longitud}}$$