Rango de una matriz con parámetro y resolución de sistema

**a) (2 puntos) Estudiar el rango de $A$ según los valores del parámetro $m$.** La matriz $A$ tiene dimensiones $3 \times 4$. Por lo tanto, el rango máximo que puede alcanzar es 3. Vamos a estudiar el rango analizando sus menores de orden 3. Consideramos el menor formado por las tres primeras columnas: $$|M_1| = \begin{vmatrix} m-1 & 1 & m \\ 1 & m-1 & m \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Para facilitar el cálculo, aplicamos propiedades de los determinantes (restando la segunda fila a la primera, $F_1 - F_2 \to F_1$): $$|M_1| = \begin{vmatrix} m-2 & -(m-2) & 0 \\ 1 & m-1 & m \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Extraemos factor común $(m-2)$ de la primera fila: $$|M_1| = (m-2) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m-1 & m \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$|M_1| = (m-2) [ (2(m-1) + (-m) + 0) - (0 + m + (-2)) ]$$ $$|M_1| = (m-2) [ 2m - 2 - m - m + 2 ] = (m-2) [ 0 ] = 0.$$ ¡Atención! Parece que ha habido un error en el cálculo manual. Vamos a recalcular con cuidado: $|M_1| = (m-2) \cdot [ (2m-2 + (-m) + 0) - (0 + m - 2) ] = (m-2) [ m - 2 - m + 2 ] = 0$. Esto significa que las tres primeras columnas son linealmente dependientes para cualquier valor de $m$. Probemos con otro menor, por ejemplo, columnas 1, 2 y 4: $$|M_2| = \begin{vmatrix} m-1 & 1 & 1 \\ 1 & m-1 & 1 \\ 1 & 1 & m-1 \end{vmatrix}$$ Este es un determinante cíclico. Sumamos todas las columnas a la primera ($C_1 + C_2 + C_3 \to C_1$): $$|M_2| = \begin{vmatrix} m+1 & 1 & 1 \\ m+1 & m-1 & 1 \\ m+1 & 1 & m-1 \end{vmatrix} = (m+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m-1 & 1 \\ 1 & 1 & m-1 \end{vmatrix}$$ Restamos la primera fila a las otras dos ($F_2-F_1$ y $F_3-F_1$): $$|M_2| = (m+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & m-2 & 0 \\ 0 & 0 & m-2 \end{vmatrix} = (m+1)(m-2)^2$$ Las raíces que anulan este menor son $m = -1$ y $m = 2$. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor cuyo determinante es distinto de cero.

Si $m = 2$, sustituimos en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que las tres filas son idénticas. Como la matriz tiene al menos un elemento distinto de cero (por ejemplo, $a_{11} = 1$), el rango es 1. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 2, \text{rg}(A) = 1}$$

Si $m = -1$, el menor $|M_2|$ se anula. Debemos comprobar si existe algún otro menor de orden 3 que no sea nulo. Probemos con las columnas 2, 3 y 4: $$|M_3| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$|M_3| = (2 - 1 - 4) - (-1 + 2 - 4) = (-3) - (-3) = 0$$ Probemos con el menor de las columnas 1, 3 y 4: $$|M_4| = \begin{vmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = ( -4 - 1 + 2 ) - ( -1 - 4 + 2 ) = -3 - (-3) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = -1, \text{rg}(A) = 2}$$

Resumiendo los cálculos anteriores: - Si $m \neq 2$ y $m \neq -1$, existe al menos un menor de orden 3 ($|M_2|$) que es distinto de cero, por lo que el rango es 3. - Si $m = 2$, el rango es 1. - Si $m = -1$, el rango es 2. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{2, -1\}, & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } m = -1, & \text{rg}(A) = 2 \\ \text{Si } m = 2, & \text{rg}(A) = 1 \end{cases}}$$

**b) (1 punto) En el caso $m = 0$, resolver el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.** Para $m = 0$, hemos visto en el apartado anterior que $rg(A) = 3$ (ya que $0 \notin \{2, -1\}$). Como el número de incógnitas es $n = 4$ y el sistema es homogéneo, se trata de un **Sistema Compatible Indeterminado** con $4 - 3 = 1$ grado de libertad. Sustituimos $m = 0$ en la matriz: $$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Escribimos las ecuaciones: 1) $-x + y + t = 0$ 2) $x - y + t = 0$ 3) $x + y + 2z - t = 0$ Sumamos la ecuación (1) y la (2): $$(-x + y + t) + (x - y + t) = 0 \implies 2t = 0 \implies t = 0$$ Sustituimos $t = 0$ en (1): $$-x + y = 0 \implies x = y$$ Sustituimos $y = x$ y $t = 0$ en (3): $$x + x + 2z - 0 = 0 \implies 2x + 2z = 0 \implies z = -x$$ Usamos un parámetro $\lambda$ para la solución general: Sea $x = \lambda$. Entonces $y = \lambda$, $z = -\lambda$ y $t = 0$. 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, si el rango es menor que el número de incógnitas, siempre hay infinitas soluciones dependiendo de $n-rg(A)$ parámetros. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{(x, y, z, t) = (\lambda, \lambda, -\lambda, 0) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$