Posición relativa de dos rectas y plano paralelo

**a) Dé su posición relativa. (1 punto)** Para determinar la posición relativa de dos rectas, primero extraemos un punto y un vector director de cada una de ellas a partir de sus ecuaciones en forma continua. Para la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-0}{1}$: - Punto $P_r(1, 2, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, 3, 1)$ Para la recta $s \equiv \frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-0}{1}$: - Punto $P_s(-1, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (3, 2, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Comprobamos si los vectores directores son proporcionales para ver si las rectas son paralelas o coincidentes: $$\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2} \neq \frac{1}{1}$$ Como los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ **no son proporcionales**, las rectas no son ni paralelas ni coincidentes. Por tanto, las rectas se cortan en un punto o se cruzan en el espacio.

Para distinguir entre si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-1 - 1, 1 - 2, 0 - 0) = (-2, -1, 0)$$ Ahora calculamos el determinante (producto mixto) de $\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\det = (2 \cdot 2 \cdot 0) + (3 \cdot 1 \cdot (-2)) + (1 \cdot 3 \cdot (-1)) - [ (1 \cdot 2 \cdot (-2)) + (3 \cdot 3 \cdot 0) + (2 \cdot 1 \cdot (-1)) ]$$ $$\det = (0 - 6 - 3) - (-4 + 0 - 2) = -9 - (-6) = -3$$ Como el determinante es distinto de cero ($\det \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Si el determinante es 0, las rectas están en el mismo plano y se cortan. Si es distinto de 0, están en planos distintos y se cruzan.

Dado que los vectores directores no son paralelos y el producto mixto es no nulo, concluimos la posición relativa: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**b) Obtenga, si es posible, un plano paralelo a $s$ que contenga a $r$. (1.5 puntos)** Para que un plano $\pi$ sea paralelo a la recta $s$ y contenga a la recta $r$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas ($\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$). Por tanto, el plano estará determinado por: - Un punto de la recta $r$: $P_r(1, 2, 0)$ - Los vectores directores de ambas rectas como vectores directores del plano: $\vec{v}_r = (2, 3, 1)$ y $\vec{v}_s = (3, 2, 1)$. Como las rectas se cruzan (no son paralelas), este plano **es único** y **es posible** obtenerlo.

Calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n} = (3 \cdot 1)\mathbf{i} + (1 \cdot 3)\mathbf{j} + (2 \cdot 2)\mathbf{k} - (3 \cdot 3)\mathbf{k} - (1 \cdot 2)\mathbf{j} - (2 \cdot 1)\mathbf{i}$$ $$\vec{n} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k} - 9\mathbf{k} - 2\mathbf{j} - 2\mathbf{i} = (1, 1, -5)$$ $$\vec{n} = (1, 1, -5)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la orientación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Utilizamos la ecuación general del plano con el vector normal $(1, 1, -5)$ y el punto $P_r(1, 2, 0)$: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$1(x - 1) + 1(y - 2) - 5(z - 0) = 0$$ Operamos para simplificar: $$x - 1 + y - 2 - 5z = 0$$ $$x + y - 5z - 3 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x + y - 5z - 3 = 0}$$