Rango y determinante de una matriz con parámetro

**a) Resuelva la ecuación $\det(A) = 0$. (1.5 puntos)** En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} -x & 1 & 1 \\ 1 & -x & 1 \\ 1 & 1 & -x \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = (-x)(-x)(-x) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1) - [1(-x)1 + 1(1)(-x) + (-x)1(1)]$$ $$\det(A) = -x^3 + 1 + 1 - [-x - x - x]$$ $$\det(A) = -x^3 + 2 + 3x = -x^3 + 3x + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $3 \times 3$, el determinante por Sarrus es la suma de los productos de la diagonal principal y sus paralelas, menos la suma de los productos de la diagonal secundaria y las suyas.

Para resolver $\det(A) = 0$, debemos hallar las raíces del polinomio $P(x) = -x^3 + 3x + 2$. Probamos con los divisores del término independiente ($\pm 1, \pm 2$) usando la regla de Ruffini. Probamos con $x = -1$: $$P(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$ Como $x = -1$ es raíz, aplicamos Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & -1 & 0 & 3 & 2 \\ -1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & -1 & 1 & 2 & 0 \end{array}$$ El polinomio factorizado es $(x + 1)(-x^2 + x + 2) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$-x^2 + x + 2 = 0 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-1)(2)}}{2(-1)} = \frac{-1 \pm 3}{-2}$$ Esto nos da las soluciones $x = -1$ (que resulta ser una raíz doble) y $x = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1, \quad x = 2}$$

**b) Calcule el rango de la matriz $A$ según los valores de $x$. (1 punto)** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Basándonos en el apartado anterior: **Caso 1: Si $x \neq -1$ y $x \neq 2$** En este caso, el determinante de la matriz es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Como la matriz es de orden $3 \times 3$ y su determinante es no nulo, el rango es máximo. $$\boxed{\text{Si } x \neq -1, 2 \implies \text{rango}(A) = 3}$$

**Caso 2: Si $x = 2$** La matriz $A$ queda de la siguiente forma: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\det(A) = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. $$\boxed{\text{Si } x = 2 \implies \text{rango}(A) = 2}$$

**Caso 3: Si $x = -1$** La matriz $A$ queda de la siguiente forma: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ En este caso, todas las filas (y columnas) son idénticas. Cualquier menor de orden 2 tendrá dos filas iguales y su determinante será cero. El mayor menor no nulo es de orden 1 (cualquier elemento individual distinto de cero, como $a_{11} = 1$). 💡 **Tip:** Si todas las filas de una matriz son proporcionales o iguales entre sí (y no son todas nulas), el rango de la matriz es siempre 1. $$\boxed{\text{Si } x = -1 \implies \text{rango}(A) = 1}$$