Optimización del área de un triángulo rectángulo

**Ejercicio 4.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm. Halle las dimensiones de los catetos de forma que el área del triángulo sea máxima. (2.5 puntos)** Llamamos $x$ e $y$ a las medidas de los catetos del triángulo rectángulo (en cm). Como la hipotenusa mide $10$ cm, aplicamos el **teorema de Pitágoras** para establecer la relación entre las variables: $$x^2 + y^2 = 10^2 \implies x^2 + y^2 = 100$$ De aquí podemos despejar una de las variables en función de la otra. Como se trata de longitudes, tomamos la raíz positiva: $$y = \sqrt{100 - x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, el primer paso siempre es identificar la restricción (Pitágoras en este caso) y la función a optimizar (el área).

El área $A$ de un triángulo rectángulo es el semiproducto de sus catetos: $$A = \frac{x \cdot y}{2}$$ Sustituimos la expresión de $y$ obtenida anteriormente para tener el área como función de una sola variable $x$: $$A(x) = \frac{x \sqrt{100 - x^2}}{2}$$ El dominio de esta función, dado el contexto del problema, es $0 \lt x \lt 10$, ya que un cateto no puede ser negativo ni mayor que la hipotenusa. $$\boxed{A(x) = \frac{1}{2} \sqrt{100x^2 - x^4}}$$

Para hallar el máximo, derivamos la función $A(x)$. Es más sencillo introducir la $x$ dentro de la raíz como $x^2$ antes de derivar o usar la regla del producto. Derivamos $A(x) = \frac{1}{2}(100x^2 - x^4)^{1/2}$: $$A'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{100x^2 - x^4}} \cdot (200x - 4x^3)$$ $$A'(x) = \frac{200x - 4x^3}{4x\sqrt{100 - x^2}} = \frac{50x - x^3}{x\sqrt{100 - x^2}}$$ $$A'(x) = \frac{50 - x^2}{\sqrt{100 - x^2}}$$ 💡 **Tip:** Para maximizar una función con raíz cuadrada, también podrías maximizar el cuadrado de la función, $f(x) = [A(x)]^2$, ya que los puntos críticos serán los mismos y la derivada suele ser más simple.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores extremos: $$A'(x) = 0 \implies \frac{50 - x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = 0$$ Esto ocurre cuando el numerador es cero: $$50 - x^2 = 0 \implies x^2 = 50 \implies x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ Descartamos la solución negativa $-5\sqrt{2}$ por no tener sentido físico en el problema. $$\boxed{x = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ cm}}$$

Estudiamos el signo de la derivada $A'(x)$ alrededor de $x = 5\sqrt{2}$ para confirmar que se trata de un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 5\sqrt{2}) & 5\sqrt{2} & (5\sqrt{2}, 10)\\ \hline A'(x) & + & 0 & -\\ \hline A(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - Si $x=1 \implies A'(1) = \frac{50-1}{\sqrt{99}} \gt 0$. - Si $x=8 \implies A'(8) = \frac{50-64}{\sqrt{100-64}} \lt 0$. Al pasar de crecer a decrecer, en $x = 5\sqrt{2}$ hay un **máximo relativo** (que además es absoluto en el dominio).

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos el valor del otro cateto $y$: $$y = \sqrt{100 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ Ambos catetos miden lo mismo, lo que significa que el triángulo de área máxima con hipotenusa fija es el **triángulo rectángulo isósceles**. Dimensiones de los catetos: $$\boxed{x = 5\sqrt{2} \text{ cm}, \quad y = 5\sqrt{2} \text{ cm}}$$