Área encerrada por una parábola y una recta vertical

**a) Dibuje aproximadamente dicho recinto. (0.75 puntos)** Primero, analizamos la función dada por la parábola $y^2 = 8x$. Para poder representarla y trabajar con integrales, despejamos $y$: $$y = \pm \sqrt{8x} = \pm 2\sqrt{2x}$$ Se trata de una parábola horizontal con eje de simetría en el eje $OX$ y vértice en el origen $(0,0)$. Como el recinto está limitado por la recta vertical $x = 2$, buscamos los puntos de corte entre ambas curvas: $$y^2 = 8(2) = 16 \implies y = \pm 4$$ Los puntos de intersección son **$(2, 4)$** y **$(2, -4)$**. 💡 **Tip:** Al despejar $y^2$, obtenemos dos ramas: la superior $f(x) = \sqrt{8x}$ y la inferior $g(x) = -\sqrt{8x}$. La parábola solo existe para $x \ge 0$.

A continuación, representamos el recinto delimitado por la parábola (ramas superior e inferior) y la recta vertical. El recinto es simétrico respecto al eje $X$, extendiéndose desde $x = 0$ hasta $x = 2$.

**b) Calcule el área de ese recinto. (1.75 puntos)** El área $A$ del recinto viene dada por la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior en el intervalo de integración $[0, 2]$. Dado que el recinto es simétrico respecto al eje de abscisas, podemos calcular el área de la mitad superior (desde $y=0$ hasta $y=\sqrt{8x}$) y multiplicar el resultado por 2: $$A = \int_{0}^{2} (\sqrt{8x} - (-\sqrt{8x})) \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{8x} \, dx$$ Simplificamos la expresión sacando las constantes fuera de la integral: $$A = 2 \sqrt{8} \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx = 2 \cdot 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} \, dx$$ 💡 **Tip:** Aprovechar la simetría de las figuras suele simplificar mucho los cálculos en los ejercicios de áreas.

Calculamos la primitiva de $x^{1/2}$ utilizando la fórmula $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: $$\int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{2}{3} x\sqrt{x}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 2]$: $$A = 4\sqrt{2} \left[ \frac{2}{3} x\sqrt{x} \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$A = 4\sqrt{2} \left( \left( \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0\sqrt{0} \right) \right)$$ $$A = 4\sqrt{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{16 \cdot (\sqrt{2})^2}{3} = \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{32}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{32}{3} \text{ u}^2 \approx 10.67 \text{ u}^2}$$