Ecuaciones de la recta y el plano. Posición relativa

**a) Las ecuaciones implícitas de $r$ y $\pi$. (1.5 puntos)** Para hallar las ecuaciones de la recta $r$, primero calculamos su vector director $\vec{v}_r$ a partir de los puntos $P(1,2,3)$ y $Q(1,-1,3)$: $$\vec{v}_r = \vec{PQ} = (1-1, -1-2, 3-3) = (0, -3, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-3$ para obtener $\vec{v}_r = (0, 1, 0)$. La ecuación paramétrica de la recta usando el punto $P(1,2,3)$ es: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 \end{cases}$$ Para obtener las ecuaciones implícitas (o cartesianas), eliminamos el parámetro $\lambda$. Observamos que $x$ y $z$ tienen valores constantes independientemente de $\lambda$. Por tanto, las ecuaciones implícitas de la recta son: $$\boxed{r: \begin{cases} x - 1 = 0 \\ z - 3 = 0 \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones implícitas de una recta en el espacio se expresan como la intersección de dos planos.

Para definir el plano $\pi$ que contiene a los puntos $A(1,0,1)$, $B(2,-1,3)$ y $C(4,1,0)$, necesitamos un punto y dos vectores directores contenidos en él: $$\vec{AB} = (2-1, -1-0, 3-1) = (1, -1, 2)$$ $$\vec{AC} = (4-1, 1-0, 0-1) = (3, 1, -1)$$ El vector normal al plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos vectores: $$\vec{n}_\pi = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = [(-1)(-1)\vec{i} + (2)(3)\vec{j} + (1)(1)\vec{k}] - [(3)(-1)\vec{k} + (1)(2)\vec{i} + (-1)(1)\vec{j}]$$ $$\vec{n}_\pi = (\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}) - (-3\vec{k} + 2\vec{i} - \vec{j})$$ $$\vec{n}_\pi = (1-2)\vec{i} + (6+1)\vec{j} + (1+3)\vec{k} = (-1, 7, 4)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Con el vector normal $\vec{n}_\pi = (-1, 7, 4)$, la ecuación del plano es de la forma: $$-x + 7y + 4z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $A(1, 0, 1)$ en la ecuación: $$-(1) + 7(0) + 4(1) + D = 0$$ $$-1 + 0 + 4 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$$ La ecuación implícita del plano $\pi$ es: $$\boxed{\pi: -x + 7y + 4z - 3 = 0}$$ (También se puede expresar multiplicando por $-1$ como $x - 7y - 4z + 3 = 0$).

**b) La posición relativa de $r$ y $\pi$. (1 punto)** Para estudiar la posición relativa, analizamos si el vector director de la recta $\vec{v}_r = (0, 1, 0)$ es perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (-1, 7, 4)$ mediante su producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (0)(-1) + (1)(7) + (0)(4) = 7$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, el vector director de la recta **no es perpendicular** al vector normal del plano. Esto significa que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. Por tanto, la recta y el plano se cortan en un único punto. La posición relativa es **secante**. 💡 **Tip:** Si el producto escalar hubiera sido $0$, la recta sería paralela al plano o estaría contenida en él. En ese caso, comprobaríamos si un punto de la recta pertenece al plano para distinguir ambas situaciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes (se cortan en un punto)}}$$

Aunque el enunciado no lo pide explícitamente, podemos hallar el punto de intersección sustituyendo las coordenadas de la recta en la ecuación del plano. Recta $r$: $x=1$, $z=3$. Plano $\pi$: $-x + 7y + 4z - 3 = 0$. Sustituyendo: $$-1 + 7y + 4(3) - 3 = 0$$ $$-1 + 7y + 12 - 3 = 0$$ $$7y + 8 = 0 \implies y = -\frac{8}{7}$$ El punto de corte es $I(1, -8/7, 3)$.