Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de $a$. (1 punto)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & a \\ 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & a & 2 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{vmatrix} = (a \cdot 1 \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 1 \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = (a^2 + 0 + 1) - (0 + a + a) = a^2 - 2a + 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula sumando los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restando los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas.

Analizamos el caso general donde el determinante es distinto de cero: **Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que el rango de la ampliada no puede ser mayor que el número de filas y contiene a $A$) - El número de incógnitas es $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Analizamos qué ocurre cuando el parámetro toma el valor crítico: **Caso 2: $a = 1$** Si $a = 1$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la segunda fila son idénticas ($F_1 = F_2$). Esto implica que una de ellas es redundante. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Como $F_1 = F_2$, cualquier determinante de orden 3 que incluya estas dos filas será 0. El único menor de orden 3 posible que no use la fila 1 es inexistente. Si miramos las columnas de $A^*$: $$\text{rg}(A^*) = \text{rg} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Como la fila 1 y 2 son iguales, el rango de $A^*$ es igual al rango de $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, que es claramente **2**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. (1.5 puntos)** El sistema es compatible indeterminado para $a = 1$. El sistema original se reduce a: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ y + z = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + z = 2 \end{cases}$$ Tenemos un sistema con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Tomamos $z$ como parámetro, $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. 1. De la segunda ecuación despejamos $y$: $$y + \lambda = 2 \implies y = 2 - \lambda$$ 2. Sustituimos en la primera ecuación para hallar $x$: $$x + (2 - \lambda) + \lambda = 1$$ $$x + 2 = 1 \implies x = -1$$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es igual a $n - \text{rg}(A)$. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$