Estudio completo de una función racional: asíntotas, extremos y curvatura

**a) Determine las asíntotas de la función anterior. (1 punto)** Primero, identificamos el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2}{1 + x}$. Como es una función racional, el dominio son todos los reales excepto los que anulan el denominador: $$1 + x = 0 \implies x = -1$$ Por tanto, **$Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$**. Para encontrar las **asíntotas verticales (AV)**, estudiamos los límites laterales en $x = -1$: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2}{1+x} = \frac{(-1)^2}{0^-} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{1+x} = \frac{(-1)^2}{0^+} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de la función en un punto es $\pm\infty$, existe una asíntota vertical en dicho punto. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -1}$$

Para las **asíntotas horizontales (AH)**, calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{1+x} = \pm \infty$$ Al ser el límite infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Buscamos **asíntotas oblicuas (AO)** de la forma $y = mx + n$, ya que el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(1+x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2+x} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{1+x} - 1 \cdot x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(1+x)}{1+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - x^2}{1+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x} = -1$$ 💡 **Tip:** También puedes hallar la AO realizando la división polinómica de $x^2$ entre $x+1$. El cociente será la asíntota. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = x - 1}$$

**b) Halle, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión. (1 punto)** Calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)(1+x) - (x^2)(1)}{(1+x)^2} = \frac{2x + 2x^2 - x^2}{(1+x)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0$$ Esto nos da dos posibles extremos en **$x = 0$** y **$x = -2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto sea un extremo relativo, la derivada debe anularse y el punto debe pertenecer al dominio. $$\boxed{f'(x) = \frac{x(x+2)}{(1+x)^2}}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad $x=-1$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las coordenadas $y$ de los extremos: - Máximo en $x = -2$: $f(-2) = \frac{(-2)^2}{1-2} = \frac{4}{-1} = -4$. - Mínimo en $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{1+0} = 0$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (-2, -4), \quad \text{Mínimo relativo: } (0, 0)}$$

Calculamos $f''(x)$ derivando $f'(x) = \frac{x^2+2x}{(1+x)^2}$: $$f''(x) = \frac{(2x+2)(1+x)^2 - (x^2+2x) \cdot 2(1+x)}{(1+x)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(1+x)$: $$f''(x) = \frac{(2x+2)(1+x) - 2(x^2+2x)}{(1+x)^3} = \frac{2x^2+2x+2x+2 - 2x^2-4x}{(1+x)^3}$$ $$f''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$$ Buscamos puntos de inflexión igualando a cero: $f''(x) = 0 \implies \frac{2}{(1+x)^3} = 0$. Esta ecuación **no tiene solución**, por lo que **no existen puntos de inflexión**. Estudiamos la curvatura según el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ \text{Curvatura} & \cap \text{ (Cóncava)} & \nexists & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ ✅ **Resultado (Inflexión):** $$\boxed{\text{No existen puntos de inflexión}}$$

**c) Dibuje aproximadamente su gráfica. (0.5 puntos)** Utilizamos toda la información obtenida: 1. Asíntota vertical en $x = -1$. 2. Asíntota oblicua $y = x - 1$. 3. Máximo en $(-2, -4)$ y mínimo en $(0, 0)$. 4. La función es cóncava (triste) a la izquierda de la asíntota y convexa (feliz) a la derecha. A continuación se presenta la gráfica detallada: