Integral por cambio de variable con función exponencial

Para resolver la integral $\int \frac{e^x - 4e^{2x}}{1 + e^x} \, dx$, observamos que la expresión está compuesta por términos de la forma $e^x$. El cambio de variable más natural es sustituir la función exponencial. Definimos el cambio: $$t = e^x$$ Ahora, calculamos el diferencial de $x$ derivando ambos lados respecto a $t$: $$dt = e^x \, dx \implies dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}$$ 💡 **Tip:** En integrales donde aparece $e^x$, el cambio $t=e^x$ suele simplificar la expresión a una función racional (cociente de polinomios).

Sustituimos $e^x = t$, $e^{2x} = (e^x)^2 = t^2$ y $dx = \frac{dt}{t}$ en la integral original: $$I = \int \frac{t - 4t^2}{1 + t} \cdot \frac{dt}{t}$$ Simplificamos la expresión factorizando $t$ en el numerador: $$I = \int \frac{t(1 - 4t)}{(1 + t)t} \, dt = \int \frac{1 - 4t}{1 + t} \, dt$$ Ahora tenemos una integral de una función racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador. $$\boxed{I = \int \frac{-4t + 1}{t + 1} \, dt}$$

Como el grado del numerador es igual al del denominador, realizamos la división polinómica de $(-4t + 1)$ entre $(t + 1)$ para descomponer la fracción: $$ \begin{array}{r|l} -4t + 1 & t + 1 \\ \hline 4t + 4 & -4 \\ \hline 5 & \end{array} $$ Recordando que $\frac{\text{Dividendo}}{\text{Divisor}} = \text{Cociente} + \frac{\text{Resto}}{\text{Divisor}}$, tenemos: $$\frac{-4t + 1}{t + 1} = -4 + \frac{5}{t + 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, el primer paso debe ser realizar la división de polinomios.

Sustituimos la expresión descompuesta en la integral y aplicamos la linealidad (integramos término a término): $$I = \int \left( -4 + \frac{5}{t + 1} \right) dt = \int -4 \, dt + 5 \int \frac{1}{t + 1} \, dt$$ Calculamos las integrales inmediatas: - $\int -4 \, dt = -4t$ - $\int \frac{1}{t + 1} \, dt = \ln|t + 1|$ Por tanto: $$I = -4t + 5\ln|t + 1| + C$$

Finalmente, regresamos a la variable original $x$ sustituyendo de nuevo $t = e^x$: $$I = -4e^x + 5\ln|e^x + 1| + C$$ Dado que $e^x + 1$ es siempre positivo para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$, podemos prescindir del valor absoluto en el logaritmo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{e^x - 4e^{2x}}{1 + e^x} \, dx = -4e^x + 5\ln(e^x + 1) + C}$$