Perpendicularidad, intersección y simetría en el espacio

**a) Calcule la recta $r$ perpendicular al plano $\pi$ que pasa por el punto $A$. (1 punto)** Para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{d_r}$ debe tener la misma dirección que el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Dada la ecuación general del plano $\pi : x - y + z - 4 = 0$, extraemos sus coeficientes: $$\vec{n_\pi} = (1, -1, 1)$$ Como buscamos una recta perpendicular: $$\vec{d_r} = \vec{n_\pi} = (1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$, el vector normal es $\vec{n}=(A, B, C)$.

Utilizamos el punto $A(0,1,2)$ y el vector director $\vec{d_r}(1, -1, 1)$ para escribir las ecuaciones paramétricas de la recta: $$r: \begin{cases} x = 0 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \implies r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (recta $r$):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}}$$

**b) Halle el punto intersección entre $r$ y $\pi$. (1 punto)** Llamemos $M$ al punto de intersección. Como $M$ pertenece a la recta $r$, sus coordenadas deben ser de la forma $(\lambda, 1 - \lambda, 2 + \lambda)$. Como también pertenece al plano $\pi$, debe satisfacer su ecuación: $$x - y + z - 4 = 0$$ Sustituimos las expresiones de la recta en el plano: $$(\lambda) - (1 - \lambda) + (2 + \lambda) - 4 = 0$$ $$ \lambda - 1 + \lambda + 2 + \lambda - 4 = 0$$ $$ 3\lambda - 3 = 0$$ $$ 3\lambda = 3 \implies \lambda = 1$$ 💡 **Tip:** Para hallar el punto de intersección entre una recta y un plano, el método más rápido es sustituir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano.

Sustituimos el valor $\lambda = 1$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener el punto $M$: $$x = 1$$ $$y = 1 - (1) = 0$$ $$z = 2 + (1) = 3$$ El punto de intersección es $M(1, 0, 3)$. ✅ **Resultado (punto de intersección):** $$\boxed{M(1, 0, 3)}$$

**c) Halle el punto simétrico de $A$ respecto de $\pi$. (0.5 puntos)** Sea $A'(x', y', z')$ el punto simétrico de $A$ respecto al plano. Por definición de simetría, el punto de intersección $M$ calculado en el apartado anterior es el **punto medio** del segmento $AA'$. La fórmula del punto medio entre $A(0,1,2)$ y $A'(x', y', z')$ es: $$M = \frac{A + A'}{2}$$ Despejamos $A'$: $$A' = 2M - A$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ (proyección ortogonal de $A$ sobre el plano) es el centro de simetría entre un punto y su simétrico.

Operamos componente a componente: $$x' = 2(1) - 0 = 2$$ $$y' = 2(0) - 1 = -1$$ $$z' = 2(3) - 2 = 4$$ Por lo tanto, el punto simétrico es $A'(2, -1, 4)$. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{A'(2, -1, 4)}$$