Invertibilidad de matrices con parámetros e inversión de matrices

**a) Calcule los valores de $m$ para los que la matriz $A - mI$ no tiene inversa. (1.5 puntos)** En primer lugar, construimos la matriz $A - mI$ restando el parámetro $m$ en los elementos de la diagonal principal de $A$: $$A - mI = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - m \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-m & 2 & 0 \\ 2 & 1-m & 1 \\ 0 & 0 & 1-m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada $M$ **no tiene inversa** si y solo si su determinante es igual a cero, es decir, $\det(M) = 0$.

Para hallar los valores de $m$, igualamos el determinante de la matriz resultante a cero. Para que el cálculo sea más sencillo, desarrollaremos por la **tercera fila**, ya que contiene dos ceros: $$\text{det}(A - mI) = \begin{vmatrix} 1-m & 2 & 0 \\ 2 & 1-m & 1 \\ 0 & 0 & 1-m \end{vmatrix}$$ Desarrollando por los elementos de la fila 3: $$\text{det}(A - mI) = 0 \cdot A_{31} + 0 \cdot A_{32} + (1-m) \cdot \begin{vmatrix} 1-m & 2 \\ 2 & 1-m \end{vmatrix}$$ $$\text{det}(A - mI) = (1-m) \cdot [(1-m)^2 - (2 \cdot 2)] = (1-m) \cdot [(1-m)^2 - 4]$$ Simplificamos la expresión dentro del corchete: $$(1-m)^2 - 4 = (1 - 2m + m^2) - 4 = m^2 - 2m - 3$$ Por tanto, el determinante es: $$\text{det}(A - mI) = (1-m)(m^2 - 2m - 3)$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que hacen que la matriz no sea invertible: $$(1-m)(m^2 - 2m - 3) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $1 - m = 0 \implies \mathbf{m = 1}$ 2. $m^2 - 2m - 3 = 0$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Las soluciones son: - $m_1 = \frac{2+4}{2} = 3$ - $m_2 = \frac{2-4}{2} = -1$ ✅ **Resultado (valores de m):** $$\boxed{m = 1, \quad m = 3, \quad m = -1}$$

**b) Calcule, si existe, la inversa de la matriz $A - 2I$. (1 punto)** Primero, sustituimos $m = 2$ en la expresión de la matriz $A-mI$ obtenida anteriormente: $$B = A - 2I = \begin{pmatrix} 1-2 & 2 & 0 \\ 2 & 1-2 & 1 \\ 0 & 0 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Comprobamos si existe la inversa calculando su determinante. Aprovechamos la expresión del determinante calculada en el apartado anterior sustituyendo $m=2$: $$\text{det}(B) = (1-2)(2^2 - 2(2) - 3) = (-1)(4 - 4 - 3) = (-1)(-3) = 3$$ Como $\text{det}(B) = 3 \neq 0$, la matriz **sí tiene inversa**. 💡 **Tip:** La fórmula para calcular la inversa es $B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \cdot [\text{Adj}(B)]^t$.

Calculamos los adjuntos de los elementos de la matriz $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$: $B_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \quad B_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \quad B_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $B_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \quad B_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \quad B_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $B_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \quad B_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \quad B_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 4 = -3$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz adjunta: $$[\text{Adj}(B)]^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$$

Finalmente, dividimos cada término de la matriz traspuesta por el valor del determinante ($\text{det}(B) = 3$): $$B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{ (A-2I)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} }$$