Integral por partes y cálculo de primitiva

**a) Resuelva por partes la siguiente integral: $\int x(1 - \ln x) \, dx$. (2.0 puntos)** Para resolver una integral por el método de integración por partes, debemos identificar dos partes en el integrando: $u$ y $dv$. Una regla común para elegir $u$ es la regla **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). En la integral $\int x(1 - \ln x) \, dx$, tenemos un polinomio ($x$) y una función logarítmica ($1 - \ln x$). Siguiendo la regla, elegimos el logaritmo como $u$: - Sea $u = 1 - \ln x \implies du = -\dfrac{1}{x} \, dx$ - Sea $dv = x \, dx \implies v = \int x \, dx = \dfrac{x^2}{2}$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Aplicamos la fórmula sustituyendo los valores obtenidos en el paso anterior: $$\int x(1 - \ln x) \, dx = (1 - \ln x) \cdot \dfrac{x^2}{2} - \int \dfrac{x^2}{2} \left( -\dfrac{1}{x} \right) \, dx$$ Simplificamos el integrando de la segunda parte: $$\int x(1 - \ln x) \, dx = \dfrac{x^2(1 - \ln x)}{2} + \int \dfrac{x^2}{2x} \, dx$$ $$\int x(1 - \ln x) \, dx = \dfrac{x^2(1 - \ln x)}{2} + \dfrac{1}{2} \int x \, dx$$ 💡 **Tip:** Al simplificar $\frac{x^2}{x} = x$, la integral resultante es inmediata.

Resolvemos la integral restante y añadimos la constante de integración $C$: $$\int x(1 - \ln x) \, dx = \dfrac{x^2(1 - \ln x)}{2} + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x^2}{2} \right) + C$$ $$\int x(1 - \ln x) \, dx = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^2 \ln x}{2} + \dfrac{x^2}{4} + C$$ Para dejar el resultado más elegante, sumamos los términos semejantes $\frac{x^2}{2} + rac{x^2}{4} = rac{3x^2}{4}$: $$\int x(1 - \ln x) \, dx = \dfrac{3x^2}{4} - \dfrac{x^2 \ln x}{2} + C$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{I = \dfrac{x^2}{4}(3 - 2\ln x) + C}$$

**b) De todas las primitivas de $f(x) = x(1 - \ln x)$ calcule la que pasa por el punto $(1,3)$. (0.5 puntos)** Una primitiva $F(x)$ es la familia de funciones que obtuvimos en el apartado anterior: $$F(x) = \dfrac{3x^2}{4} - \dfrac{x^2 \ln x}{2} + C$$ El enunciado nos dice que la gráfica de esta primitiva pasa por el punto $(1, 3)$, lo que significa que cuando $x = 1$, el valor de la función debe ser $F(1) = 3$. Sustituimos los valores en la expresión: $$3 = \dfrac{3(1)^2}{4} - \dfrac{(1)^2 \ln(1)}{2} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1) = 0$.

Operamos para despejar la constante $C$: $$3 = \dfrac{3}{4} - 0 + C$$ $$C = 3 - \dfrac{3}{4}$$ $$C = \dfrac{12 - 3}{4} = \dfrac{9}{4}$$ Una vez hallado el valor de $C$, escribimos la función primitiva concreta: $$F(x) = \dfrac{3x^2}{4} - \dfrac{x^2 \ln x}{2} + \dfrac{9}{4}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{F(x) = \dfrac{3x^2 - 2x^2 \ln x + 9}{4}}$$