Continuidad y derivabilidad de una función con parámetros

**a) Determine el valor de $b$ para que la función sea continua en el punto $x = 0$. (1 punto)** Para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(0)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Calculamos el valor de la función en el punto (usando la segunda rama): $f(0) = 5\operatorname{sen}(0) - 2\cos(0) = 5(0) - 2(1) = -2$. Calculamos los límites laterales: - Por la izquierda ($x \lt 0$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (ax + b) = a(0) + b = b.$$ - Por la derecha ($x \ge 0$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (5\operatorname{sen}x - 2\cos x) = 5(0) - 2(1) = -2.$$ Para que sea continua, igualamos los límites: $$b = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que no haya un salto entre ramas, el valor al que tienden ambas funciones en el punto de unión debe ser el mismo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = -2}$$

**b) Calcule el valor de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 0$. (1.5 puntos)** Para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que primero sea **continua** en dicho punto. Del apartado anterior, ya sabemos que para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, el valor del parámetro $b$ debe ser: $$\boxed{b = -2}$$ Si $b \neq -2$, la función presentaría un salto y no podría existir la derivada en ese punto. 💡 **Tip:** Siempre comprueba la continuidad antes que la derivabilidad; si la función es discontinua, automáticamente no es derivable.

Derivamos la función en cada una de sus ramas para $x \neq 0$: - Para $x \lt 0$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(ax + b) = a$. - Para $x \gt 0$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(5\operatorname{sen}x - 2\cos x) = 5\cos x - 2(-\operatorname{sen}x) = 5\cos x + 2\operatorname{sen}x$. La función derivada queda definida como: $$f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x \lt 0 \\ 5\cos x + 2\operatorname{sen}x & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda las derivadas elementales: $(\operatorname{sen}x)' = \cos x$ y $(\cos x)' = -\operatorname{sen}x$.

Para que la función sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales: $f'(0^-) = f'(0^+)$. Calculamos los límites de la derivada: - Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} a = a.$$ - Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (5\cos x + 2\operatorname{sen}x) = 5\cos(0) + 2\operatorname{sen}(0) = 5(1) + 2(0) = 5.$$ Igualamos ambos resultados: $$a = 5$$ Concluimos que para que la función sea derivable en el punto $x = 0$, los valores deben ser: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 5, \quad b = -2}$$