Geometría en el espacio: Intersecciones y distancias

**a) La ecuación del plano $\pi$ perpendicular a $r$ pasando por $P$. (1 punto)** Para resolver este apartado, primero extraemos la información de la recta $r$. La recta está dada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$$ De aquí obtenemos el vector director de la recta, $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = (2, 2, 1)$$ El enunciado nos pide un plano $\pi$ que sea perpendicular a la recta $r$. Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta será el **vector normal** del plano: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, los coeficientes $(A, B, C)$ corresponden a las componentes del vector normal al plano.

Utilizamos la ecuación general del plano con el vector normal $\vec{n}_\pi = (2, 2, 1)$: $$2x + 2y + 1z + D = 0$$ Para hallar el valor de $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(-1, 2, 0)$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación: $$2(-1) + 2(2) + 1(0) + D = 0$$ $$-2 + 4 + 0 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ Sustituimos $D$ en la ecuación general para obtener la solución del apartado a): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv 2x + 2y + z - 2 = 0}$$

**b) El punto intersección entre $r$ y $\pi$. (1 punto)** Para hallar la intersección de una recta y un plano, lo más sencillo es expresar la recta en **ecuaciones paramétricas**. A partir de $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{2} = z$, igualamos cada término a un parámetro $\lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Ahora sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$ hallada anteriormente: $$2(1 + 2\lambda) + 2(2\lambda) + (\lambda) - 2 = 0$$ Desarrollamos la ecuación para despejar $\lambda$: $$2 + 4\lambda + 4\lambda + \lambda - 2 = 0$$ $$9\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ 💡 **Tip:** El valor de $\lambda$ nos indica en qué "punto" de la recta se produce el contacto con el plano. Si no hubiera solución, la recta sería paralela al plano.

Sustituimos el valor $\lambda = 0$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para encontrar el punto de intersección, al que llamaremos $Q$: $$x = 1 + 2(0) = 1$$ $$y = 2(0) = 0$$ $$z = 0$$ El punto de intersección es $Q(1, 0, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(1, 0, 0)}$$

**c) La distancia del punto $P$ a la recta $r$. (0.5 puntos)** Dado que el plano $\pi$ es perpendicular a $r$ y pasa por $P$, el punto de intersección $Q$ que hemos calculado en el apartado anterior es precisamente la **proyección ortogonal** de $P$ sobre la recta $r$. Por tanto, la distancia del punto $P$ a la recta $r$ coincide con el módulo del vector $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 - (-1), 0 - 2, 0 - 0) = (2, -2, 0)$$ Calculamos la distancia: $$d(P, r) = |\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2}$$ $$d(P, r) = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado la fórmula general $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$, pero aprovechar la proyección ortogonal calculada en los apartados anteriores es mucho más directo y evita errores de cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = 2\sqrt{2} \text{ u.l.}}$$