Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discuta su compatibilidad según los distintos valores de $a$. (1.5 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ a & -1 & 1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 2 \\ a & -1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ a & -1 & 1 \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix} = [2(-1)(1) + (-1)(1)(1) + (a)(a)(1)] - [1(-1)(1) + (a)(-1)(1) + (a)(1)(2)]$$ $$|A| = [-2 - 1 + a^2] - [-1 - a + 2a]$$ $$|A| = a^2 - 3 - (a - 1) = a^2 - a - 2$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que cambian el rango de la matriz: $$a^2 - a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores: $$\alpha_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad \alpha_2 = \frac{-2}{2} = -1$$ Por tanto, si **$a \neq 2$ y $a \neq -1$**, entonces $|A| \neq 0$.

Analizamos los tres casos posibles según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 2$ y $a \neq -1$** Como $|A| \neq 0$, entonces $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Al coincidir con el número de incógnitas: $$\boxed{\text{Si } a \neq 2, -1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$ **Caso 2: $a = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos las filas 1 y 2. Las ecuaciones correspondientes son $2x-y+z=2$ y $2x-y+z=1$. Es una contradicción evidente (un mismo plano no puede ser igual a dos valores distintos simultáneamente). Matemáticamente: $\text{rang}(A) = 2$ (ya que $|A|=0$ y hay un menor $2\times2$ no nulo, ej: $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$). Sin embargo, si orlamos con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 4 = -5 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3.$$ $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$ **Caso 3: $a = -1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, el $\text{rang}(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0$, luego $\text{rang}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ orlando el menor anterior con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-2-1+2) - (-2-2+1) = -1 - (-3) = 2 \neq 0$$ Como $\text{rang}(A) = 2$ y $\text{rang}(A^*) = 3$: $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**c) Resuélvalo, si es posible, cuando $a = 0$. (1 punto)** Como $a=0$ no es ni $2$ ni $-1$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es **Compatible Determinado**. El sistema queda: $$\begin{cases} 2x - y + z = 2 \\ - y + z = 1 \\ x + z = 1 \end{cases}$$ Resolvemos por el método de sustitución: 1. De la tercera ecuación: $x = 1 - z$ 2. De la segunda ecuación: $y = z - 1$ 3. Sustituimos en la primera: $$2(1 - z) - (z - 1) + z = 2$$ $$2 - 2z - z + 1 + z = 2$$ $$3 - 2z = 2 \implies -2z = -1 \implies z = \frac{1}{2}$$ Ahora calculamos $x$ e $y$: $$x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$y = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{1}{2}, \quad z = \frac{1}{2}}$$