Límite de la forma 1^∞

Para resolver el límite, primero analizamos el comportamiento de la base y del exponente por separado cuando $x \to \infty$. Para la base: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{2x - 1} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Siguiendo las instrucciones, aplicamos la **regla de L'Hôpital** para resolver esta indeterminación (derivando numerador y denominador): $$\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+3)'}{(2x-1)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{2} = 1.$$ Para el exponente: $$\lim_{x \to \infty} x = \infty.$$ Por tanto, nos encontramos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Aunque en límites de funciones racionales basta con comparar los grados de los polinomios, usar L'Hôpital es un método sistemático para justificar el resultado.

Para resolver la indeterminación de tipo $1^\infty$, utilizamos la fórmula asociada a la definición del número $e$. Si el límite es de la forma $L = \lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)}$, entonces: $$L = e^{\lim_{x \to \infty} g(x) \cdot [f(x) - 1]}$$ En nuestro caso, identificamos $f(x) = \frac{2x + 3}{2x - 1}$ y $g(x) = x$. Planteamos el nuevo límite en el exponente: $$\lim_{x \to \infty} x \cdot \left( \frac{2x + 3}{2x - 1} - 1 \right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la forma general de estos límites siempre busca transformar la base en la estructura $(1 + 1/n)^n$.

Operamos dentro del paréntesis para simplificar la expresión antes de calcular el límite: $$\frac{2x + 3}{2x - 1} - 1 = \frac{2x + 3 - (2x - 1)}{2x - 1} = \frac{2x + 3 - 2x + 1}{2x - 1} = \frac{4}{2x - 1}.$$ Ahora multiplicamos por el factor $x$ que proviene del exponente original: $$x \cdot \left( \frac{4}{2x - 1} \right) = \frac{4x}{2x - 1}.$$ Por lo tanto, el límite que debemos resolver en el exponente es: $$\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2x - 1}$$

Calculamos el límite resultante, que vuelve a presentar una indeterminación de tipo $\left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2x - 1} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos de nuevo la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4x)'}{(2x - 1)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{2} = 2.$$ Como el límite del exponente es $2$, el resultado final del límite original es $e$ elevado a dicho valor.

Reuniendo los pasos anteriores, concluimos que: $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 3}{2x - 1} \right)^x = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2x - 1}} = e^2.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{e^2}$$ Podemos observar gráficamente cómo la función se aproxima asintóticamente al valor $e^2 \approx 7.389$.