Continuidad, Recta Tangente e Integración de Función a Trozos

**a) Determine el valor de $k$ para que la función sea continua en el intervalo $[0,4]$. (0.75 puntos)** Para que la función sea continua en el intervalo $[0, 4]$, debe serlo en cada una de sus ramas y en el salto entre intervalos, es decir, en $x = 2$. 1. **En las ramas:** - Si $x \lt 2$, $f(x) = 2x - 2$ es una función polinómica, por tanto continua en $[0, 2)$. - Si $x \gt 2$, $f(x) = e^{x-2} + k^2$ es una función exponencial más una constante, por tanto continua en $(2, 4]$. 2. **En el punto de separación ($x = 2$):** Para que sea continua en $x = 2$ deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x - 2) = 2(2) - 2 = 2$. - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (e^{x-2} + k^2) = e^{2-2} + k^2 = e^0 + k^2 = 1 + k^2$. - Valor de la función: $f(2) = 1 + k^2$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Igualamos los límites laterales para garantizar la continuidad: $$2 = 1 + k^2$$ $$k^2 = 1$$ $$k = \pm \sqrt{1}$$ Por lo tanto, los valores de $k$ que hacen que la función sea continua en $[0, 4]$ son: $$\boxed{k = 1, \quad k = -1}$$ Como el enunciado nos pide estudiar los siguientes apartados con $k = 1$, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} 2x - 2 & \text{si } x \lt 2 \\ e^{x-2} + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

**b) Suponiendo que $k = 1$, halle la recta tangente en $x = 3$. (0.5 puntos)** Para $x = 3$, utilizamos la segunda rama de la función, ya que $3 \ge 2$: $$f(x) = e^{x-2} + 1$$ Primero, calculamos el punto de tangencia $(3, f(3))$: $$f(3) = e^{3-2} + 1 = e^1 + 1 = e + 1$$ Segundo, calculamos la pendiente de la recta tangente $m = f'(3)$. Derivamos la función en dicha rama: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x-2} + 1) = e^{x-2}$$ Evaluamos en $x = 3$: $$m = f'(3) = e^{3-2} = e$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Utilizamos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Sustituyendo $x_0 = 3$, $f(3) = e + 1$ y $f'(3) = e$: $$y - (e + 1) = e(x - 3)$$ $$y = ex - 3e + e + 1$$ $$y = ex - 2e + 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = ex - 2e + 1}$$

**c) Suponiendo que $k = 1$, halle el área que la función determina con el eje $OX$, para $x \in [0,4]$. (1.25 puntos)** Para calcular el área, debemos encontrar si la función corta al eje $OX$ ($f(x) = 0$) en el intervalo $[0, 4]$. 1. **En la primera rama ($x \lt 2$):** $$2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ El punto $x = 1$ está dentro del intervalo $[0, 2)$, por lo que hay un punto de corte. 2. **En la segunda rama ($x \ge 2$):** $$e^{x-2} + 1 = 0 \implies e^{x-2} = -1$$ Esta ecuación no tiene solución real, ya que la función exponencial siempre es positiva ($e^{x-2} \gt 0$). Por tanto, la función cambia de signo en $x = 1$. Debemos dividir la integral en tres recintos: $[0, 1]$, $[1, 2]$ y $[2, 4]$. 💡 **Tip:** Cuando una función tiene raíces en el intervalo de integración, el área es la suma de los valores absolutos de las integrales en cada subintervalo.

El área total $A$ será la suma de las áreas de cada recinto: $$A = \left| \int_0^1 (2x - 2) \, dx \right| + \left| \int_1^2 (2x - 2) \, dx \right| + \left| \int_2^4 (e^{x-2} + 1) \, dx \right|$$ Analizando el signo: - En $[0, 1]$, $f(x) \le 0$. - En $[1, 2]$, $f(x) \ge 0$. - En $[2, 4]$, $f(x) \gt 0$.

Calculamos cada integral por separado aplicando la Regla de Barrow: 1. **Primer recinto ($x \in [0, 1]$):** $$\int_0^1 (2x-2) \, dx = \left[ x^2 - 2x \right]_0^1 = (1^2 - 2(1)) - (0^2 - 2(0)) = -1$$ Área $A_1 = |-1| = 1 \text{ u}^2$. 2. **Segundo recinto ($x \in [1, 2]$):** $$\int_1^2 (2x-2) \, dx = \left[ x^2 - 2x \right]_1^2 = (2^2 - 2(2)) - (1^2 - 2(1)) = 0 - (-1) = 1$$ Área $A_2 = |1| = 1 \text{ u}^2$. 3. **Tercer recinto ($x \in [2, 4]$):** $$\int_2^4 (e^{x-2} + 1) \, dx = \left[ e^{x-2} + x \right]_2^4 = (e^{4-2} + 4) - (e^{2-2} + 2)$$ $$= (e^2 + 4) - (e^0 + 2) = e^2 + 4 - 1 - 2 = e^2 + 1$$ Área $A_3 = e^2 + 1 \text{ u}^2$.

Sumamos las áreas obtenidas: $$A = A_1 + A_2 + A_3 = 1 + 1 + (e^2 + 1) = e^2 + 3$$ Valor aproximado: $e^2 + 3 \approx 7.389 + 3 = 10.389 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = e^2 + 3 \text{ u}^2}$$