Geometría en el espacio: Rectas, planos y simetría

**a) Dé las ecuaciones de la recta $r$ que pasa por $B$ y $C$. (0.5 puntos)** Para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. Tomamos el punto $B(0, 1, 1)$ y el vector $\vec{BC}$ como vector director de la recta $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = \vec{BC} = C - B = (0 - 0, 0 - 1, -1 - 1) = (0, -1, -2)$$ Podemos simplificar el vector director multiplicándolo por $-1$ para trabajar con valores positivos: $\vec{v}_r = (0, 1, 2)$. Usando el punto $B$ y el vector $\vec{v}_r$, expresamos la recta en sus ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con vector $(v_1, v_2, v_3)$ son $x=x_0+v_1\lambda$, $y=y_0+v_2\lambda$, $z=z_0+v_3\lambda$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}}$$

**b) Calcule el plano $\pi$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. (1 punto)** Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ coincide con el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Como $\vec{v}_r = (0, 1, 2)$, entonces $\vec{n}_\pi = (0, 1, 2)$. La ecuación general del plano será de la forma: $$0x + 1y + 2z + D = 0 \implies y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por el punto $A(1, 0, 1)$: $$0 + 2(1) + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$\pi: y + 2z - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, sus vectores son paralelos: $\vec{v}_{recta} \parallel \vec{n}_{plano}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: y + 2z - 2 = 0}$$

**c) Halle el punto de corte entre $r$ y $\pi$. (0.5 puntos)** Para hallar el punto de intersección $P$, sustituimos las expresiones de las coordenadas $(x, y, z)$ de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: En $\pi: y + 2z - 2 = 0$ sustituimos $y = 1 + \lambda$ y $z = 1 + 2\lambda$: $$(1 + \lambda) + 2(1 + 2\lambda) - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$1 + \lambda + 2 + 4\lambda - 2 = 0$$ $$5\lambda + 1 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{5}$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto $P$ sustituyendo $\lambda = -1/5$ en la recta: $$x = 0$$ $$y = 1 + \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{4}{5}$$ $$z = 1 + 2\left(-\frac{1}{5}\right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$ 💡 **Tip:** El punto de corte es la proyección ortogonal del punto $A$ sobre la recta $r$, ya que el plano se ha construido perpendicular a la recta pasando por $A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(0, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)}$$

**d) Obtenga el punto simétrico de $A$ respecto de $r$. (0.5 puntos)** Sea $A'(x', y', z')$ el punto simétrico de $A(1, 0, 1)$ respecto de la recta $r$. El punto de corte $P\left(0, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$ hallado en el apartado anterior es el punto medio del segmento $AA'$. La relación de punto medio es: $$P = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2P - A$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(0) - 1 = -1$$ $$y' = 2\left(\frac{4}{5}\right) - 0 = \frac{8}{5}$$ $$z' = 2\left(\frac{3}{5}\right) - 1 = \frac{6}{5} - \frac{5}{5} = \frac{1}{5}$$ Por tanto, el punto simétrico es $A'\left(-1, \frac{8}{5}, \frac{1}{5}\right)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A'\left(-1, \frac{8}{5}, \frac{1}{5}\right)}$$