Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) Halle, si existe, la matriz inversa de $M$. (1 punto)** Una matriz cuadrada $M$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de $M$ aplicando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|M| = (0 \cdot 1 \cdot (-2)) + (2 \cdot 1 \cdot (-1)) + (1 \cdot 1 \cdot (-2)) - [ (-1 \cdot 1 \cdot 1) + (-2 \cdot 1 \cdot 0) + (-2 \cdot 1 \cdot 2) ]$$ $$|M| = (0 - 2 - 2) - (-1 + 0 - 4) = -4 - (-5) = -4 + 5 = 1$$ Como $|M| = 1 \neq 0$, la matriz $M$ es regular y **existe la matriz inversa $M^{-1}$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula para la matriz inversa es $M^{-1} = \dfrac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$.

Calculamos los adjuntos de los elementos de $M$: $M_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 0; \quad M_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 1; \quad M_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -1$ $M_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 2; \quad M_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 1; \quad M_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -2$ $M_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad M_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad M_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ Como $|M| = 1$, la inversa es $M^{-1} = \text{Adj}(M)^t$. Observamos que en este caso $M^{-1} = M$. ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcule la matriz $X$ que cumple $X \cdot M + M = 2M^2$. (1.5 puntos)** Primero aislamos el término que contiene $X$ en la ecuación matricial: $$X \cdot M = 2M^2 - M$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la derecha por la matriz inversa $M^{-1}$ en ambos lados de la igualdad: $$(X \cdot M) \cdot M^{-1} = (2M^2 - M) \cdot M^{-1}$$ $$X \cdot (M \cdot M^{-1}) = 2M^2 \cdot M^{-1} - M \cdot M^{-1}$$ $$X \cdot I = 2M - I$$ $$X = 2M - I$$ Donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden de los productos es fundamental. Si multiplicas por la inversa por la derecha en un lado, debes hacerlo también por la derecha en el otro.

Sustituimos la matriz $M$ y la matriz identidad $I$ para hallar $X$: $$X = 2 \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -2 & -4 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta elemento a elemento: $$X = \begin{pmatrix} 0-1 & 4-0 & 2-0 \\ 2-0 & 2-1 & 2-0 \\ -2-0 & -4-0 & -4-1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix}}$$