Rectas tangentes a una parábola y cálculo de área

**a) Calcule la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la parábola en los puntos de corte con el eje $OX$. (1 punto)** Primero, determinamos los puntos de corte de la función $f(x) = 6x - x^2$ con el eje $OX$ haciendo $y = 0$: $$6x - x^2 = 0 \implies x(6 - x) = 0$$ Las soluciones son: - $x_1 = 0 \implies$ Punto $P_1(0, 0)$ - $x_2 = 6 \implies$ Punto $P_2(6, 0)$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje de abscisas siempre tienen la coordenada $y = 0$.

Para hallar las pendientes de las tangentes, calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = 6 - 2x$$ Ahora calculamos la pendiente en cada punto: 1. **En $x = 0$:** $$m_1 = f'(0) = 6 - 2(0) = 6$$ La ecuación de la recta tangente $r_1$ es: $$y - 0 = 6(x - 0) \implies y = 6x$$ 2. **En $x = 6$:** $$m_2 = f'(6) = 6 - 2(6) = 6 - 12 = -6$$ La ecuación de la recta tangente $r_2$ es: $$y - 0 = -6(x - 6) \implies y = -6x + 36$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en un punto $(a, f(a))$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado (rectas tangentes):** $$\boxed{y = 6x \quad \text{y} \quad y = -6x + 36}$$

**b) Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la parábola y las rectas halladas anteriormente. (0.5 puntos)** Para el dibujo, identificamos los elementos clave: - La parábola $f(x) = 6x - x^2$ abre hacia abajo ($a \lt 0$). - El vértice de la parábola se encuentra en $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-1)} = 3$. La ordenada es $f(3) = 6(3) - 3^2 = 9$. Vértice: $(3, 9)$. - Las rectas tangentes $y = 6x$ y $y = -6x + 36$ se cortan donde $6x = -6x + 36 \implies 12x = 36 \implies x = 3$. En ese punto, $y = 6(3) = 18$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "parabola", "latex": "f(x) = 6x - x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "tangente1", "latex": "y = 6x", "color": "#ef4444" }, { "id": "tangente2", "latex": "y = -6x + 36", "color": "#ef4444" }, { "id": "area_fill", "latex": "f(x) \\le y \\le \\{x \\le 3: 6x, -6x+36\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 7, "bottom": -2, "top": 20 } } }

**c) Calcule el área de ese recinto. (1 punto)** El recinto está limitado superiormente por las dos rectas tangentes, que cambian de una a otra en su punto de corte $x = 3$, e inferiormente por la parábola. El área total es la suma de dos integrales: $$A = \int_{0}^{3} [6x - (6x - x^2)] \, dx + \int_{3}^{6} [(-6x + 36) - (6x - x^2)] \, dx$$ Simplificamos los integrandos: 1. En $[0, 3]$: $6x - 6x + x^2 = x^2$ 2. En $[3, 6]$: $-6x + 36 - 6x + x^2 = x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$ 💡 **Tip:** Por la simetría de la parábola y las tangentes respecto a $x = 3$, podríamos calcular solo una parte y multiplicar por 2.

Calculamos cada parte aplicando la regla de Barrow: **Primera parte ($A_1$):** $$A_1 = \int_{0}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - 0 = \frac{27}{3} = 9$$ **Segunda parte ($A_2$):** $$A_2 = \int_{3}^{6} (x^2 - 12x + 36) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 6x^2 + 36x \right]_3^6$$ Sustituyendo el límite superior ($x = 6$): $$\left( \frac{6^3}{3} - 6(6^2) + 36(6) \right) = \frac{216}{3} - 216 + 216 = 72$$ Sustituyendo el límite inferior ($x = 3$): $$\left( \frac{3^3}{3} - 6(3^2) + 36(3) \right) = \frac{27}{3} - 54 + 108 = 9 + 54 = 63$$ $$A_2 = 72 - 63 = 9$$ Área total: $$A = A_1 + A_2 = 9 + 9 = 18$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = 18 \text{ unidades}^2}$$