Ecuaciones de planos, posición relativa y distancia

**a) Las ecuaciones generales o implícitas de $\pi_1$ y $\pi_2$. (0.75 puntos)** Para obtener la ecuación general del plano $\pi_1$, necesitamos un punto, por ejemplo $A(1,0,0)$, y dos vectores directores que pertenezcan al plano. Los obtenemos a partir de los puntos dados: $$\vec{AB} = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-1, 0-0, -1-0) = (-1, 0, -1)$$ El vector normal al plano $\vec{n}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_1 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_1 = [2 \cdot (-1)]\vec{i} + [0 \cdot (-1)]\vec{j} + [(-1) \cdot 0]\vec{k} - [2 \cdot (-1)]\vec{k} - [0 \cdot 0]\vec{i} - [(-1) \cdot (-1)]\vec{j}$$ $$\vec{n}_1 = -2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k} = (-2, -1, 2)$$ Para trabajar con coeficientes positivos en $x$, podemos usar el vector proporcional $\vec{n}_1 = (2, 1, -2)$. La ecuación del plano es de la forma $2x + y - 2z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(1,0,0)$: $$2(1) + 1(0) - 2(0) + D = 0 \implies D = -2$$ 💡 **Tip:** Si un plano corta a los ejes en $(a,0,0)$, $(0,b,0)$ y $(0,0,c)$, su ecuación segmentaria es $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. ✅ **Resultado $\pi_1$:** $$\boxed{\pi_1: 2x + y - 2z - 2 = 0}$$

Para el plano $\pi_2$, repetimos el proceso con los puntos $P(3,0,0)$, $Q(0,6,0)$ y $R(0,0,-3)$. Usaremos la ecuación segmentaria para agilizar el cálculo: $$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{-3} = 1$$ Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores ($m.c.m(3, 6, 3) = 6$) para obtener la ecuación general: $$6 \cdot \left( \frac{x}{3} + \frac{y}{6} - \frac{z}{3} \right) = 6 \cdot 1$$ $$2x + y - 2z = 6 \implies 2x + y - 2z - 6 = 0$$ Comprobamos que el vector normal es $\vec{n}_2 = (2, 1, -2)$. ✅ **Resultado $\pi_2$:** $$\boxed{\pi_2: 2x + y - 2z - 6 = 0}$$

**b) La posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$. (0.75 puntos)** Para determinar la posición relativa de dos planos, comparamos los coeficientes de sus ecuaciones implícitas: $$\pi_1: 2x + y - 2z - 2 = 0$$ $$\pi_2: 2x + y - 2z - 6 = 0$$ Observamos la relación entre los coeficientes de las variables $(A, B, C)$ y el término independiente $D$: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{2} = 1, \quad \frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{-2} = 1$$ $$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$$ Como $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$, los vectores normales son paralelos pero los planos no tienen puntos en común. 💡 **Tip:** Si todos los coeficientes incluyendo $D$ fueran proporcionales, los planos serían coincidentes. Si los vectores normales no fueran proporcionales, los planos serían secantes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los planos } \pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ son paralelos y distintos.}}$$

**c) La distancia entre $\pi_1$ y $\pi_2$. (1 punto)** Dado que los planos son paralelos, la distancia entre ellos es constante. Podemos usar la fórmula directa para la distancia entre dos planos paralelos $Ax+By+Cz+D_1=0$ y $Ax+By+Cz+D_2=0$: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Identificamos los valores: - $A=2, B=1, C=-2$ - $D_1 = -2$ - $D_2 = -6$ Sustituimos en la fórmula: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|-6 - (-2)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber tomado un punto cualquiera de $\pi_1$, por ejemplo $A(1,0,0)$, y calcular su distancia al plano $\pi_2$ mediante la fórmula punto-plano: $d(A, \pi_2) = \frac{|2(1)+0-2(0)-6|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{4}{3}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(\pi_1, \pi_2) = \frac{4}{3} \text{ unidades}}$$