Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de $a$. (1 punto)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & a & 2 \\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & a & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a & 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando los rangos de ambas matrices en función del parámetro $a$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$. Si además este rango es igual al número de incógnitas, es determinado (SCD); si es menor, es indeterminado (SCI). Si los rangos son distintos, es incompatible (SI).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & a & 2 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix} = (2 \cdot a \cdot a) + (-1 \cdot 2 \cdot 1) + (3 \cdot 2 \cdot 1) - [(1 \cdot a \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 2) + (3 \cdot (-1) \cdot a)]$$ $$|A| = (2a^2 - 2 + 6) - (a + 8 - 3a)$$ $$|A| = 2a^2 + 4 - (8 - 2a) = 2a^2 + 2a - 4$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2a^2 + 2a - 4 = 0 \implies a^2 + a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores **$a = 1$** y **$a = -2$**.

Si $a \neq 1$ y $a \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$) - Número de incógnitas $= 3$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Caso $a \neq 1, -2$:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $a = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Analizamos el rango: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Tomamos un menor de orden 2 en $A$: $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 + 3 = 5 \neq 0$, por lo que **$\text{rg}(A) = 2$**. Para el rango de $A^*$, estudiamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (4 - 3 + 6) - (1 + 12 - 6) = 7 - 7 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero (nótese que en este caso la fila 2 es la suma de la fila 1 y la fila 3, $R_2 = R_1 + R_3$), el **$\text{rg}(A^*) = 2$**. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Caso $a = 1$:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Si $a = -2$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -2 & 2 \end{array}\right)$$ Tomamos un menor de orden 2 en $A$: $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -4 + 3 = -1 \neq 0$, por lo que **$\text{rg}(A) = 2$**. Para el rango de $A^*$, estudiamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (-8 - 3 + 6) - (-2 + 12 - 6) = -5 - 4 = -9 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, el **$\text{rg}(A^*) = 3$**. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Caso $a = -2$:** $$\boxed{\text{Sistema Incompatible}}$$

**b) Resuélvalo, si es posible, en el caso en que $a = 0$. (1.5 puntos)** Como $a=0$ no es ni 1 ni -2, el sistema es **SCD**. El sistema es: $$\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ 3x + 2z = 3 \\ x + 2y = 2 \end{cases}$$ Calculamos el determinante de $A$ para $a=0$ usando la expresión hallada antes: $$|A| = 2(0)^2 + 2(0) - 4 = -4$$ Aplicamos la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(0 - 4 + 6) - (0 + 4 + 0)}{-4} = \frac{2 - 4}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(0 + 2 + 6) - (3 + 8 + 0)}{-4} = \frac{8 - 11}{-4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(0 - 3 + 6) - (0 + 12 - 6)}{-4} = \frac{3 - 6}{-4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Cramer es muy útil para sistemas $3 \times 3$ con solución única. La incógnita $x_i$ es el cociente del determinante de la matriz sustituyendo la columna $i$ por los términos independientes entre el determinante de la matriz de coeficientes. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{1}{2}, \ y = \frac{3}{4}, \ z = \frac{3}{4}}$$