Área encerrada por una parábola y una recta

Para poder dibujar el recinto y establecer los límites de integración, primero debemos hallar los puntos donde la parábola $f(x) = x^2 + 3$ y la recta $g(x) = 2x + 3$ se intersectan. Igualamos ambas expresiones: $$x^2 + 3 = 2x + 3$$ $$x^2 - 2x = 0$$ Factorizamos para hallar las raíces: $$x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 2$$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en la recta: - Para $x = 0 \implies y = 2(0) + 3 = 3$. Punto $P_1(0, 3)$. - Para $x = 2 \implies y = 2(2) + 3 = 7$. Punto $P_2(2, 7)$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ son las soluciones de la ecuación $f(x) = g(x)$. $$\boxed{\text{Puntos de corte: } (0, 3) \text{ y } (2, 7)}$$

**a) Dibuje un esquema del recinto. (1 punto)** Para el dibujo consideramos: 1. **La parábola $y = x^2 + 3$**: Tiene su vértice en $(0, 3)$ y abre hacia arriba. 2. **La recta $y = 2x + 3$**: Pasa por el punto $(0, 3)$ (ordenada en el origen) y por el punto $(2, 7)$. 3. **El recinto**: Es la región comprendida entre ambas funciones desde $x=0$ hasta $x=2$. En el intervalo $(0, 2)$, la recta está por encima de la parábola (por ejemplo, en $x=1$, la recta vale $5$ y la parábola $4$). **Representación gráfica:**

**b) Calcule su área. (1.5 puntos)** El área $A$ del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la función "techo" menos la función "suelo" entre los puntos de corte. Como en el intervalo $[0, 2]$ se cumple que $2x + 3 \ge x^2 + 3$, planteamos: $$A = \int_{0}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{2} [(2x + 3) - (x^2 + 3)] \, dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si no estás seguro de qué función va arriba, puedes calcular la integral de $|f(x) - g(x)|$ o simplemente tomar el valor absoluto del resultado final.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (2x - x^2) \, dx = x^2 - \frac{x^3}{3} + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $0$ y $2$: $$A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = 2^2 - \frac{2^3}{3} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = 0^2 - \frac{0^3}{3} = 0$$ Restamos ambos valores: $$A = F(2) - F(0) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{4}{3} \approx 1,33 \text{ unidades de área}}$$