Límite con indeterminación de tipo uno elevado a infinito

Para resolver el límite, primero evaluamos la función en el punto $x = \frac{\pi}{2}$: $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1 + 2\cos x)^{\frac{1}{\cos x}} = (1 + 2\cos(\pi/2))^{\frac{1}{\cos(\pi/2)}}$$ Como sabemos que $\cos(\pi/2) = 0$, sustituimos: $$(1 + 2 \cdot 0)^{\frac{1}{0}} = 1^{\infty}$$ Se trata de una **indeterminación de tipo $1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones de tipo $1^{\infty}$ pueden resolverse mediante la fórmula del número $e$ o aplicando logaritmos para usar la regla de L'Hôpital.

Para bajar el exponente, llamamos $L$ al valor del límite y aplicamos logaritmos neperianos, aprovechando que $\ln(\lim f(x)) = \lim(\ln f(x))$: $$\ln L = \ln \left[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1 + 2\cos x)^{\frac{1}{\cos x}} \right] = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln\left( (1 + 2\cos x)^{\frac{1}{\cos x}} \right)$$ Usando la propiedad del logaritmo de una potencia $\ln(a^b) = b \cdot \ln a$: $$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos x} \cdot \ln(1 + 2\cos x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(1 + 2\cos x)}{\cos x}$$ Evaluamos de nuevo este nuevo límite: $$\frac{\ln(1 + 2\cos(\pi/2))}{\cos(\pi/2)} = \frac{\ln(1+0)}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación de tipo $0/0$**, lo que nos permite aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital debemos tener una fracción $\frac{f(x)}{g(x)}$ donde ambos términos tiendan a $0$ o a $\infty$.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $[\ln(1 + 2\cos x)]' = \frac{(1 + 2\cos x)'}{1 + 2\cos x} = \frac{-2\sin x}{1 + 2\cos x}$ - Derivada del denominador: $[\cos x]' = -\sin x$ Aplicamos la regla: $$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(1 + 2\cos x)}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{-2\sin x}{1 + 2\cos x}}{-\sin x}$$ Simplificamos la expresión antes de volver a evaluar, cancelando el término $-\sin x$ en el numerador y el denominador (ya que $\sin(\pi/2) = 1 \neq 0$): $$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2\sin x}{(-\sin x)(1 + 2\cos x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2}{1 + 2\cos x}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x = \frac{\pi}{2}$: $$\ln L = \frac{2}{1 + 2\cos(\pi/2)} = \frac{2}{1 + 0} = 2$$ 💡 **Tip:** No olvides que el resultado obtenido (2) es el valor de $\ln L$, no el del límite original $L$.

Una vez hallado que $\ln L = 2$, despejamos $L$ aplicando la función inversa del logaritmo (la exponencial): $$e^{\ln L} = e^2 \implies L = e^2$$ Por tanto, el valor del límite es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1 + 2\cos x)^{\frac{1}{\cos x}} = e^2}$$