Geometría en el espacio 2010 Asturias
Ecuaciones de la recta y posición relativa en el espacio
Ejercicio 2.- En el espacio se consideran las rectas: $r$, que pasa por el punto $P(1,2,1)$ y tiene como vector director $v=(1,-1,1)$, y $s$ que pasa por los puntos $A(2,3,2)$ y $B(3,2,3)$.
a) Obtenga las ecuaciones de $r$ y de $s$. (1 punto)
b) Dé la posición relativa de $r$ y $s$. (1.5 puntos)
Paso 1
Obtención de la ecuación de la recta r
**a) Obtenga las ecuaciones de $r$ y de $s$. (1 punto)**
Para la recta $r$, el enunciado nos proporciona directamente un punto $P(1, 2, 1)$ y su vector director $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$.
Podemos expresar la recta en su **forma paramétrica**:
$$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$
O en su **forma continua**:
$$\frac{x - 1}{1} = rac{y - 2}{-1} = rac{z - 1}{1}$$
💡 **Tip:** Recuerda que para definir una recta en el espacio basta con un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$. La forma continua es $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$.
✅ **Ecuación de $r$:**
$$\boxed{r: x-1 = \frac{y-2}{-1} = z-1}$$
Paso 2
Obtención de la ecuación de la recta s
Para la recta $s$, conocemos dos puntos: $A(2, 3, 2)$ y $B(3, 2, 3)$. Primero calculamos su vector director $\vec{v}_s$ restando las coordenadas de los puntos:
$$\vec{v}_s = \vec{AB} = B - A = (3 - 2, 2 - 3, 3 - 2) = (1, -1, 1)$$
Utilizando el punto $A(2, 3, 2)$ y el vector $\vec{v}_s = (1, -1, 1)$, escribimos la ecuación continua de $s$:
$$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 2}{1}$$
✅ **Ecuación de $s$:**
$$\boxed{s: x-2 = \frac{y-3}{-1} = z-2}$$
Paso 3
Análisis de los vectores directores
**b) Dé la posición relativa de $r$ y $s$. (1.5 puntos)**
Comparamos los vectores directores de ambas rectas:
- Vector de $r$: $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$
- Vector de $s$: $\vec{v}_s = (1, -1, 1)$
Observamos que $\vec{v}_r = \vec{v}_s$. Como los vectores son proporcionales (en este caso iguales), las rectas son **paralelas** o **coincidentes**.
💡 **Tip:** Si los vectores directores son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección. Solo falta comprobar si comparten algún punto para distinguir si son la misma recta o están separadas.
Paso 4
Comprobación de punto común y conclusión
Para determinar si son paralelas o coincidentes, comprobamos si el punto $P(1, 2, 1)$ de la recta $r$ pertenece a la recta $s$.
Sustituimos las coordenadas de $P$ en la ecuación de $s$:
$$x-2 = \frac{y-3}{-1} = z-2$$
$$1-2 = \frac{2-3}{-1} = 1-2$$
$$-1 = \frac{-1}{-1} = -1$$
$$-1 = 1 = -1$$
Como $-1 \neq 1$, la igualdad no se cumple. Esto significa que el punto $P$ no pertenece a $s$ ($P \notin s$).
Por tanto, al tener la misma dirección pero no tener puntos en común, las rectas son paralelas.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas no coincidentes}}$$