Determinante, invertibilidad e inversa de una matriz

**a) Calcule el determinante de $A$. (1 punto)** Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, utilizamos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & m & 0 \\ 0 & 1 & m \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos los productos de la diagonal principal y sus paralelas: $$1 \cdot 1 \cdot (-2) + m \cdot m \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 1 = -2 + m^2 + 0 = m^2 - 2$$ Calculamos los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas: $$0 \cdot 1 \cdot 1 + m \cdot 0 \cdot (-2) + 1 \cdot m \cdot 1 = 0 + 0 + m = m$$ Restamos ambos resultados: $$|A| = (m^2 - 2) - (m) = m^2 - m - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de Sarrus consiste en sumar los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, y restar los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = m^2 - m - 2}$$

**b) Indique los valores de $m$ para los que $A$ tiene matriz inversa. (0.5 puntos)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Para hallar los valores críticos, igualamos el determinante a cero: $$m^2 - m - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos valores: - $m_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$ - $m_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $m$ excepto $m = 2$ y $m = -1$. 💡 **Tip:** En los ejercicios de parámetros, es fundamental justificar que la existencia de la inversa depende de que el determinante sea no nulo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ tiene inversa si } m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}}$$

**c) Halle, si existe, la matriz inversa de $A$ cuando $m =1$. (1 punto)** Primero verificamos si existe la inversa para $m=1$. Como $1 \neq -1$ y $1 \neq 2$, el determinante será distinto de cero y la inversa existe. Sustituimos $m=1$ en la expresión del determinante hallada en el apartado a): $$|A|_{m=1} = 1^2 - 1 - 2 = -2$$ La matriz $A$ para $m=1$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para calcular la matriz inversa usamos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Calculamos cada uno de los adjuntos de los elementos de la matriz $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 1) = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Transponemos la matriz adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = -2$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Operando: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/2 & -1 & -1/2 \\ -1/2 & 1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1.5 & -1 & -0.5 \\ -0.5 & 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0 & -0.5 \end{pmatrix}}$$