Integración por partes: Integral cíclica

Para resolver la integral $\int e^x \cos 3x \, dx$ por el método de integración por partes, debemos elegir convenientemente $u$ y $dv$. Utilizamos la regla **ALPES** (o ILATE) para elegir $u$: - **A**: Arcos (trigonométricas inversas) - **L**: Logaritmos - **P**: Potencias/Polinomios - **E**: Exponenciales - **S**: Senos/Cosenos En este caso, tenemos una exponencial ($e^x$) y una trigonométrica ($\cos 3x$). Aunque ambas opciones funcionan para integrales cíclicas, tomaremos: $$u = \cos 3x \implies du = -3 \sin 3x \, dx$$ $$dv = e^x \, dx \implies v = \int e^x \, dx = e^x$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula: $$I = \int e^x \cos 3x \, dx = e^x \cos 3x - \int e^x (-3 \sin 3x) \, dx$$ Simplificamos la expresión sacando la constante fuera de la integral: $$I = e^x \cos 3x + 3 \int e^x \sin 3x \, dx$$ Observamos que la nueva integral $\int e^x \sin 3x \, dx$ es del mismo tipo que la original, por lo que aplicaremos nuevamente el método de integración por partes.

Para la integral $I_2 = \int e^x \sin 3x \, dx$, mantenemos el criterio de elección para ser coherentes: $$u_1 = \sin 3x \implies du_1 = 3 \cos 3x \, dx$$ $$dv_1 = e^x \, dx \implies v_1 = e^x$$ Aplicamos la fórmula de nuevo: $$\int e^x \sin 3x \, dx = e^x \sin 3x - \int e^x (3 \cos 3x) \, dx$$ $$\int e^x \sin 3x \, dx = e^x \sin 3x - 3 \int e^x \cos 3x \, dx$$ Sustituimos este resultado en nuestra ecuación principal: $$I = e^x \cos 3x + 3 \left( e^x \sin 3x - 3 \int e^x \cos 3x \, dx \right)$$ 💡 **Tip:** En integrales cíclicas, es fundamental elegir el mismo tipo de función para $u$ en ambas aplicaciones para evitar volver al punto de partida ($0=0$).

Expandimos el paréntesis de la expresión obtenida: $$I = e^x \cos 3x + 3 e^x \sin 3x - 9 \int e^x \cos 3x \, dx$$ Observamos que la integral de la derecha es nuestra integral original $I$: $$I = e^x \cos 3x + 3 e^x \sin 3x - 9I$$ Agrupamos los términos con $I$ en el lado izquierdo de la igualdad: $$I + 9I = e^x \cos 3x + 3 e^x \sin 3x$$ $$10I = e^x (\cos 3x + 3 \sin 3x)$$ Finalmente, despejamos $I$ y añadimos la constante de integración $C$: $$I = \frac{e^x (\cos 3x + 3 \sin 3x)}{10} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int e^x \cos 3x \, dx = \frac{e^x (\cos 3x + 3 \sin 3x)}{10} + C}$$