Continuidad, derivabilidad por definición y representación gráfica

**a) Estudie su continuidad en el punto $x = 0$. (1 punto)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben existir los límites laterales, el valor de la función en el punto y todos deben coincidir. Comprobamos los tres pasos para $x = 0$: 1. **Valor de la función en el punto:** Utilizamos la primera rama, ya que incluye el signo igual ($x \le 0$): $$f(0) = 4$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** Utilizamos la rama para valores menores o iguales a $0$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 4 = 4$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** Utilizamos la rama para valores mayores que $0$: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (4 - x^2) = 4 - 0^2 = 4$$ Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 4$, la función es continua en $x = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función a trozos sea continua, no debe haber "saltos" en el punto donde cambian las ramas. En este caso, ambas ramas coinciden en el valor $4$ al acercarse a $x=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en } x = 0}$$

**b) Usando la definición de derivada calcule, si existe, la derivada de la función $f$ en $x = 0$. (1 punto)** La definición de derivada en un punto $x = a$ es: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Para estudiar si existe en $x = 0$, calculamos las derivadas laterales mediante el límite de la tasa de variación media. **Derivada por la izquierda ($f'_-(0)$):** Cuando $h \to 0^-$, el valor $0+h$ es menor que $0$, por lo que $f(0+h) = 4$. Sabemos que $f(0) = 4$. $$f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4 - 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0}{h} = 0$$ **Derivada por la derecha ($f'_+(0)$):** Cuando $h \to 0^+$, el valor $0+h$ es mayor que $0$, por lo que $f(0+h) = 4 - (0+h)^2 = 4 - h^2$. $$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(4 - h^2) - 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} -h = 0$$ Como $f'_-(0) = f'_+(0) = 0$, la derivada existe y su valor es $0$. 💡 **Tip:** Es fundamental usar la definición de límite cuando el enunciado lo pide explícitamente. No basta con derivar las funciones de las ramas y sustituir, ya que eso no aplica la definición formal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(0) = 0}$$

**c) Dibuje la gráfica de la función. (0.5 puntos)** La función se compone de dos partes: 1. Para $x \le 0$: Es una **función constante** $y = 4$. Es una recta horizontal que termina en el punto $(0, 4)$. 2. Para $x \gt 0$: Es una **parábola** cóncava hacia abajo ($y = 4 - x^2$) con vértice en $(0, 4)$. Como solo tomamos la parte positiva de $x$, es la rama derecha de la parábola que baja desde el punto $(0, 4)$ y corta al eje $X$ en $x = 2$ (ya que $4 - 2^2 = 0$). Podemos ver que en $x = 0$ ambas gráficas se unen suavemente, ya que hemos comprobado que la función es continua y derivable (la pendiente de la tangente es horizontal en ese punto).