Ecuación del plano que contiene a una recta y un punto

Para definir el plano $\pi$, necesitamos un punto de la recta $r$ (al que llamaremos $P_r$) y su vector director $\vec{v}_r$. La recta viene dada como intersección de dos planos. Podemos obtener el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (1, -2, 1) \quad y \quad \vec{n}_2 = (0, 1, 2)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-2) \cdot 2 - 1 \cdot 1] \mathbf{i} - [1 \cdot 2 - 1 \cdot 0] \mathbf{j} + [1 \cdot 1 - (-2) \cdot 0] \mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = -5\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \implies \vec{v}_r = (-5, -2, 1)$$ Ahora buscamos un punto $P_r$ de la recta asignando un valor a una de las coordenadas, por ejemplo $z = 0$: $$y + 2(0) - 4 = 0 \implies y = 4$$ $$x - 2(4) + 0 + 3 = 0 \implies x - 8 + 3 = 0 \implies x = 5$$ Así, tenemos el punto **$P_r = (5, 4, 0)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

El plano $\pi$ que buscamos debe contener a la recta $r$ y al punto $A(1, -2, 0)$. Por tanto, el plano estará definido por: 1. El punto **$A(1, -2, 0)$**. 2. El vector director de la recta: **$\vec{v}_r = (-5, -2, 1)$**. 3. Un segundo vector director $\vec{u}$ que vaya desde $A$ hasta un punto de la recta (usaremos $P_r$): $$\vec{u} = \vec{AP_r} = P_r - A = (5 - 1, 4 - (-2), 0 - 0) = (4, 6, 0)$$ Podemos simplificar el vector $\vec{u}$ dividiendo por 2 para facilitar los cálculos, aunque no es obligatorio. Usaremos **$\vec{u} = (2, 3, 0)$**.

El vector normal $\vec{n}_{\pi}$ del plano es perpendicular a sus dos vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{u}$. Lo hallamos mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{v}_r \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi} = [(-2) \cdot 0 - 1 \cdot 3] \mathbf{i} - [(-5) \cdot 0 - 1 \cdot 2] \mathbf{j} + [(-5) \cdot 3 - (-2) \cdot 2] \mathbf{k}$$ $$\vec{n}_{\pi} = -3\mathbf{i} - (-2)\mathbf{j} + (-15 + 4)\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_{\pi} = (-3, 2, -11)$$ Podemos cambiar el signo para trabajar con valores más cómodos: **$\vec{n}_{\pi} = (3, -2, 11)$**. 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano tiene la forma $3x - 2y + 11z + D = 0$. Como el plano pasa por el punto $A(1, -2, 0)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$3(1) - 2(-2) + 11(0) + D = 0$$ $$3 + 4 + 0 + D = 0 \implies 7 + D = 0 \implies D = -7$$ Sustituyendo $D$ en la ecuación general, obtenemos la solución final: ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x - 2y + 11z - 7 = 0}$$ 💡 **Tip:** También se podría haber resuelto utilizando un determinante directo con un punto genérico $X(x, y, z)$: $\det(\vec{AX}, \vec{v}_r, \vec{u}) = 0$.