Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los valores de $m$. (1.25 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & m \\ 4 & 1 & m^2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 1 & m & | & 1 \\ 4 & 1 & m^2 & | & m \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & m \\ 4 & 1 & m^2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot m^2) + (1 \cdot m \cdot 4) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - (4 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot m^2 + m \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = m^2 + 4m + 2 - (4 + 2m^2 + m) = m^2 + 4m + 2 - 4 - 2m^2 - m = -m^2 + 3m - 2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-m^2 + 3m - 2 = 0 \implies m^2 - 3m + 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da los valores **$m = 1$** y **$m = 2$**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$ (incógnitas), el sistema es Compatible Determinado. Si los rangos son iguales pero menores que $n$, es Compatible Indeterminado. Si los rangos son distintos, es Incompatible.

Analizamos los tres casos posibles basándonos en los valores hallados: **Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el $\text{rango}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$ (nº de incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $m = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 1 & 1 & | & 1 \\ 4 & 1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ El $\text{rango}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$, luego $\text{rango}(A) = 2$. Observamos que las columnas 2, 3 y la de términos independientes son iguales. Cualquier menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes tendrá dos columnas iguales, por lo que su determinante será 0. Así, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $m = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 1 & 2 & | & 1 \\ 4 & 1 & 4 & | & 2 \end{pmatrix}$$ El $\text{rango}(A) = 2$ (ya que $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$). Veamos el rango de $A^*$ estudiando el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 4 + 2) - (4 + 1 + 4) = 8 - 9 = -1 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 1, m \neq 2 \implies \text{SCD} \\ m = 1 \implies \text{SCI} \\ m = 2 \implies \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. (1.25 puntos)** El sistema es compatible indeterminado cuando **$m = 1$**. Sustituimos dicho valor en el sistema original: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 1 \\ 4x + y + z = 1 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (la tercera, por ejemplo, ya que es combinación lineal de las otras) y tratar una variable como parámetro. Usamos las dos primeras ecuaciones: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 1 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $y$ y $z$: $$(2x + y + z) - (x + y + z) = 1 - 1 \implies x = 0$$ Sustituyendo $x = 0$ en la primera ecuación: $$0 + y + z = 1 \implies y = 1 - z$$ Parametrizamos haciendo **$z = \lambda$**, con $\lambda \in \mathbb{R}$: $$x = 0$$ $$y = 1 - \lambda$$ $$z = \lambda$$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros libres es igual al número de incógnitas menos el rango del sistema (en este caso, $3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado (Resolución para m=1):** $$\boxed{(x, y, z) = (0, 1 - \lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$