Alineación de puntos y geometría del plano

**(a) [1 punto] ¿Existe algún valor de $\lambda \in \mathbb{R}$ para el que los puntos $A, B$ y $C$ estén alineados? Justifica la respuesta.** Tres puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados si los vectores que forman entre ellos, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, son proporcionales (tienen la misma dirección). Primero, calculamos las coordenadas de los vectores en función de $\lambda$: $$\vec{AB} = B - A = (-\lambda - 2, 2 - \lambda, 0 - \lambda) = (-\lambda - 2, 2 - \lambda, -\lambda)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 2, \lambda - \lambda, (\lambda - 1) - \lambda) = (-2, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son proporcionales si existe un número $k$ tal que $\vec{u} = k\vec{v}$, o lo que es lo mismo, sus componentes son proporcionales.

Para que $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ sean proporcionales, debe cumplirse: $$\frac{-\lambda - 2}{-2} = \frac{2 - \lambda}{0} = \frac{-\lambda}{-1}$$ Analizamos la segunda fracción. Para que la proporción tenga sentido (evitando la división por cero), el numerador correspondiente en el otro vector debe ser obligatoriamente cero: $$2 - \lambda = 0 \implies \lambda = 2$$ Ahora comprobamos si con $\lambda = 2$ se cumple la proporción en las demás componentes: - Primera componente: $\frac{-2 - 2}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$ - Tercera componente: $\frac{-2}{-1} = 2$ Como en ambos casos obtenemos el mismo valor de la constante de proporcionalidad ($k=2$), los vectores son proporcionales para ese valor.

Hemos comprobado que existe un valor real de $\lambda$ para el cual los vectores son paralelos y, por tanto, los puntos están en la misma recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, los puntos están alineados para } \lambda = 2}$$

**(b) [1’5 puntos] Para $\lambda = 1$ halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices $A, B$ y $C$. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.** Sustituimos $\lambda = 1$ en los puntos dados: $A(2, 1, 1)$, $B(-1, 2, 0)$ y $C(0, 1, 0)$. Obtenemos dos vectores directores del plano (que no sean paralelos, ya que $\lambda=1 \neq 2$): $$\vec{u} = \vec{AB} = (-1-2, 2-1, 0-1) = (-3, 1, -1)$$ $$\vec{v} = \vec{AC} = (0-2, 1-1, 0-1) = (-2, 0, -1)$$ Para hallar el vector normal al plano $\vec{n} = (A, B, C)$, realizamos el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = [ (1 \cdot (-1))\mathbf{i} + (-1 \cdot (-2))\mathbf{j} + (-3 \cdot 0)\mathbf{k} ] - [ (-2 \cdot 1)\mathbf{k} + (0 \cdot (-1))\mathbf{i} + (-1 \cdot (-3))\mathbf{j} ]$$ $$\vec{n} = [ -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k} ] - [ -2\mathbf{k} + 0\mathbf{i} + 3\mathbf{j} ]$$ $$\vec{n} = -\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \implies \vec{n} = (-1, -1, 2)$$

La ecuación del plano $\pi$ tiene la forma $-x - y + 2z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos uno de los puntos, por ejemplo $C(0, 1, 0)$: $$-1(0) - 1(1) + 2(0) + D = 0 \implies -1 + D = 0 \implies D = 1$$ La ecuación del plano es $-x - y + 2z + 1 = 0$, que podemos escribir multiplicando por $-1$ como: $$\pi: x + y - 2z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{x + y - 2z - 1 = 0}$$

El origen de coordenadas es $O(0, 0, 0)$. La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Aplicamos los valores de nuestro plano $\pi: 1x + 1y - 2z - 1 = 0$ y el punto $O$: $$d(O, \pi) = \frac{|1(0) + 1(0) - 2(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(O, \pi) = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx 0,408$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(O, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{6} \text{ unidades}}$$