Propiedades de los determinantes

**(a) [1’25 puntos] Halla $\det(-3A^t)$ y $\det \begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c \end{pmatrix}$. Indica las propiedades que utilizas.** Para calcular $\det(-3A^t)$ aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. El determinante de una matriz traspuesta es igual al determinante de la matriz original: $\det(A^t) = \det(A)$. 2. Si multiplicamos una matriz de orden $n$ por un número real $k$, el determinante queda multiplicado por $k^n$: $\det(k \cdot A) = k^n \det(A)$. En este caso, $A$ es una matriz de orden $n=2$ y sabemos que $\det(A) = 4$. Por tanto: $$\det(-3A^t) = (-3)^2 \cdot \det(A^t) = 9 \cdot \det(A) = 9 \cdot 4 = 36$$ 💡 **Tip:** No olvides elevar el escalar al orden de la matriz. Al ser una matriz $2 \times 2$, el $(-3)$ sale del determinante como $(-3)^2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(-3A^t) = 36}$$

Para hallar $\det \begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c \end{pmatrix}$ partimos de la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ y aplicamos propiedades paso a paso: 1. **Extracción de factores comunes:** Si una fila o columna está multiplicada por un número, este sale fuera del determinante. Sacamos factor $2$ de la primera fila ($F_1$) y factor $-3$ de la segunda fila ($F_2$): $$\det \begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c \end{pmatrix} = 2 \cdot (-3) \cdot \det \begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix} = -6 \cdot \det \begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix}$$ 2. **Intercambio de columnas:** Si intercambiamos dos columnas (o filas) entre sí, el determinante cambia de signo. Intercambiamos $C_1$ por $C_2$ para que se parezca a la matriz $A$: $$-6 \cdot \det \begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix} = (-6) \cdot (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = 6 \cdot \det(A)$$ 3. **Sustitución del valor conocido:** Como $\det(A) = 4$: $$6 \cdot 4 = 24$$ 💡 **Tip:** Siempre intenta manipular el determinante que te dan para llegar al determinante de la matriz original usando las propiedades elementales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det \begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c \end{pmatrix} = 24}$$

**(b) [0’75 puntos] Calcula $\det(A^{-1} A^t)$.** Utilizamos las propiedades relativas al producto, la inversa y la traspuesta: 1. El determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes: $\det(M \cdot N) = \det(M) \cdot \det(N)$. 2. El determinante de la matriz inversa es el inverso del determinante: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$. 3. El determinante de la traspuesta es igual al de la matriz original: $\det(A^t) = \det(A)$. Aplicando estas reglas: $$\det(A^{-1} A^t) = \det(A^{-1}) \cdot \det(A^t) = \frac{1}{\det(A)} \cdot \det(A)$$ Sustituyendo el valor $\det(A) = 4$: $$\det(A^{-1} A^t) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, el determinante $\det(A)$ debe ser distinto de cero. En este caso $\det(A)=4 \ne 0$, por lo que el cálculo es válido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(A^{-1} A^t) = 1}$$

**(c) [0’5 puntos] Si $B$ es una matriz cuadrada tal que $B^3 = I$, siendo $I$ la matriz identidad, halla $\det(B)$.** Si dos matrices son iguales, sus determinantes también lo son. Por tanto, aplicamos determinantes a ambos lados de la ecuación $B^3 = I$: $$\det(B^3) = \det(I)$$ Sabemos que: 1. El determinante de la potencia de una matriz es la potencia del determinante: $\det(B^n) = [\det(B)]^n$. 2. El determinante de la matriz identidad $I$ (de cualquier orden) es siempre 1: $\det(I) = 1$. Entonces tenemos: $$[\det(B)]^3 = 1$$ Para hallar $\det(B)$, calculamos la raíz cúbica real: $$\det(B) = \sqrt[3]{1} = 1$$ 💡 **Tip:** Aunque en el campo complejo existen otras raíces, en el contexto de determinantes de matrices reales para Bachillerato, buscamos la solución real única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(B) = 1}$$