Área entre dos parábolas y el eje de ordenadas

**(a) [1 punto] Esboza las gráficas de $f$ y $g$, y halla su punto de corte.** Para hallar los puntos de corte entre $f(x)$ y $g(x)$, igualamos sus expresiones: $$x^2 - 2x + 3 = \frac{1}{2}x^2 + 1$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$2x^2 - 4x + 6 = x^2 + 2$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 - x^2 - 4x + 6 - 2 = 0$$ $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ Observamos que es una identidad notable $(x-2)^2 = 0$, por lo que la única solución es: $$x = 2$$ Calculamos la ordenada sustituyendo en cualquiera de las dos funciones: $$g(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$$ 💡 **Tip:** Si no identificas la identidad notable, puedes usar la fórmula general: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2$. ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{P(2, 3)}$$

Para esbozar las gráficas, analizamos brevemente ambas parábolas: 1. **Para $f(x) = x^2 - 2x + 3$**: * Es una parábola convexa (forma de $\cup$) porque el coeficiente de $x^2$ es positivo ($1 \gt 0$). * Vértice: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$. La ordenada es $f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2$. El vértice es $V_1(1, 2)$. * Corte con el eje $Y$: $f(0) = 3$. Punto $(0, 3)$. 2. **Para $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$**: * Es una parábola convexa (forma de $\cup$) porque $\frac{1}{2} \gt 0$. * Vértice: $x_v = \frac{0}{2(1/2)} = 0$. La ordenada es $g(0) = 1$. El vértice es $V_2(0, 1)$. Como solo tienen un punto de corte en $x=2$, las gráficas son tangentes en ese punto.

**(b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas.** El recinto está limitado por: - La izquierda: el eje de ordenadas ($x = 0$). - La derecha: el punto de corte ($x = 2$). - Las funciones $f(x)$ y $g(x)$. En el intervalo $[0, 2]$, debemos determinar qué función está por encima. Evaluamos en un punto intermedio, por ejemplo $x = 1$: - $f(1) = 1 - 2 + 3 = 2$ - $g(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + 1 = 1.5$ Como $f(1) \gt g(1)$, la función $f(x)$ es la superior. El área $A$ viene dada por la integral definida: $$A = \int_{0}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{2} \left[ (x^2 - 2x + 3) - \left(\frac{1}{2}x^2 + 1\right) \right] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es la integral de la función "techo" menos la función "suelo".

Calculamos la primitiva de la función: $$\int \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 \right) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{6} - x^2 + 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $[0, 2]$: $$A = \left[ \frac{x^3}{6} - x^2 + 2x \right]_{0}^{2}$$ $$A = \left( \frac{2^3}{6} - 2^2 + 2(2) \right) - \left( \frac{0^3}{6} - 0^2 + 2(0) \right)$$ $$A = \left( \frac{8}{6} - 4 + 4 \right) - 0 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{4}{3} \text{ unidades}^2}$$