Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos

Para estudiar la continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos, primero analizamos los puntos de unión entre los intervalos. El dominio de la función es $\mathbb{R}$, ya que cada rama está definida en su intervalo correspondiente (la función racional $\frac{2}{x+1}$ solo tendría problemas en $x=-1$, pero esa rama solo aplica para $x \ge 1$). Estudiamos la continuidad en **$x = 0$**: 1. **Valor de la función**: $f(0) = e^{-0} = 1$. 2. **Límite por la izquierda**: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{-x} = e^0 = 1$. 3. **Límite por la derecha**: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - x^2) = 1 - 0^2 = 1$. Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si existe el valor de la función, el límite global y ambos coinciden.

Estudiamos la continuidad en el punto de salto entre el segundo y tercer intervalo, **$x = 1$**: 1. **Valor de la función**: $f(1) = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$. 2. **Límite por la izquierda**: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 - x^2) = 1 - 1^2 = 0$. 3. **Límite por la derecha**: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1$. Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$, existe un salto finito en $x=1$. Por tanto, la función **no es continua en $x = 1$**. ✅ **Conclusión de continuidad:** $$\boxed{\text{f es continua en } \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos (donde las funciones elementales que la componen son derivables): - Para $x < 0$: $f'(x) = (e^{-x})' = -e^{-x}$. - Para $0 < x < 1$: $f'(x) = (1 - x^2)' = -2x$. - Para $x > 1$: $f'(x) = \left(\frac{2}{x+1}\right)' = \frac{0 \cdot (x+1) - 2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2}$. Por tanto, la función derivada provisional es: $$f'(x) = \begin{cases} -e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ -2x & \text{si } 0 < x < 1 \\ \frac{-2}{(x+1)^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que sea continua en dicho punto.

Analizamos la derivabilidad en los puntos conflictivos: **En $x = 0$:** Como la función es continua, comprobamos si las derivadas laterales coinciden: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} -e^{-x} = -e^0 = -1$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} -2x = -2(0) = 0$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$** (presenta un punto anguloso). **En $x = 1$:** Como la función **no es continua** en $x = 1$, automáticamente **no es derivable** en $x = 1$. ✅ **Conclusión de derivabilidad:** $$\boxed{\text{f es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

Finalmente, expresamos la función derivada $f'(x)$ indicando su dominio de definición, que hemos determinado que es $\mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$: $$f'(x) = \begin{cases} -e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ -2x & \text{si } 0 < x < 1 \\ \frac{-2}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Podemos visualizar el comportamiento de la función original en el siguiente gráfico interactivo: