Punto simétrico de un punto respecto a una recta

Para hallar el punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a una recta $r$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un plano $\pi$ que sea perpendicular a la recta $r$ y que pase por el punto $P$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta y será el **punto medio** del segmento $PP'$. 3. Utilizar la fórmula del punto medio para despejar las coordenadas de $P'$. Extraemos de la ecuación continua de la recta $r$: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-1}$ sus elementos: - Un punto de la recta: $A(1, 0, -1)$. - El vector director de la recta: $\vec{v_r} = (2, 3, -1)$. 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ coincide con el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$.

El plano $\pi$ es perpendicular a $r$, por lo que su vector normal $\vec{n_\pi}$ es el vector director de la recta: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (2, 3, -1)$$ La ecuación general del plano será de la forma: $$2x + 3y - z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por $P(1, 1, 1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$2(1) + 3(1) - (1) + D = 0 \implies 2 + 3 - 1 + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ Por lo tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{\pi: 2x + 3y - z - 4 = 0}$$

Para hallar $M = r \cap \pi$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$2(1 + 2\lambda) + 3(3\lambda) - (-1 - \lambda) - 4 = 0$$ Desarrollamos la ecuación para despejar $\lambda$: $$2 + 4\lambda + 9\lambda + 1 + \lambda - 4 = 0$$ $$14\lambda - 1 = 0 \implies \lambda = \frac{1}{14}$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas de $M$: $$x_M = 1 + 2\left(\frac{1}{14}\right) = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$$ $$y_M = 3\left(\frac{1}{14}\right) = \frac{3}{14}$$ $$z_M = -1 - \left(\frac{1}{14}\right) = -\frac{15}{14}$$ El punto de intersección es $M\left(\frac{8}{7}, \frac{3}{14}, -\frac{15}{14}\right)$.

El punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$. Si llamamos $P'(x', y', z')$ al punto simétrico, se debe cumplir: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies \left(\frac{8}{7}, \frac{3}{14}, -\frac{15}{14}\right) = \left(\frac{1 + x'}{2}, \frac{1 + y'}{2}, \frac{1 + z'}{2}\right)$$ Igualamos componente a componente: 1. **Para la coordenada x:** $$\frac{8}{7} = \frac{1 + x'}{2} \implies \frac{16}{7} = 1 + x' \implies x' = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$$ 2. **Para la coordenada y:** $$\frac{3}{14} = \frac{1 + y'}{2} \implies \frac{6}{14} = 1 + y' \implies \frac{3}{7} = 1 + y' \implies y' = \frac{3}{7} - 1 = -\frac{4}{7}$$ 3. **Para la coordenada z:** $$\frac{-15}{14} = \frac{1 + z'}{2} \implies \frac{-30}{14} = 1 + z' \implies \frac{-15}{7} = 1 + z' \implies z' = -\frac{15}{7} - 1 = -\frac{22}{7}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula del punto medio entre $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$ es $M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P'\left(\frac{9}{7}, -\frac{4}{7}, -\frac{22}{7}\right)}$$