Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & 2 & 6 \\ 2 & \lambda & 4 \\ 2 & \lambda & 6 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 2 & 6 & 0 \\ 2 & \lambda & 4 & 2 \\ 2 & \lambda & 6 & \lambda - 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo (rango 3).

Calculamos $|A|$ aplicando las propiedades de los determinantes para simplificar el cálculo. Restamos la segunda fila a la tercera ($F_3 - F_2 \to F_3$): $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 6 \\ 2 & \lambda & 4 \\ 2 & \lambda & 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 6 \\ 2 & \lambda & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila, ya que tiene dos ceros: $$|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2(\lambda^2 - 4)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2(\lambda^2 - 4) = 0 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$$ 💡 **Tip:** El uso de propiedades (como restar filas) antes de desarrollar un determinante suele simplificar mucho los cálculos algebraicos y evita errores con los signos.

Si $\lambda \neq 2$ y $\lambda \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es 3: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Por tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \neq \pm 2, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Para $\lambda = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 6 & 0 \end{array}\right)$$ Como la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$), el rango de $A$ y $A^*$ será el mismo. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 12 - 8 = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_3$, también se cumple que $\text{rg}(A^*) = 2$. Dado que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 2, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Para $\lambda = -2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 6 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & -4 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -2 & 6 \end{vmatrix} = 12 - (-8) = 20 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 6 & -4 \end{vmatrix} = (-32 - 24 + 0) - (0 + 24 + 48) = -56 - 72 = -128 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Incompatible (SI)**, es decir, no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = -2, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**(b) [0’75 puntos] Resuélvelo para $\lambda = 2$.** Sustituimos $\lambda = 2$ en el sistema original y eliminamos la tercera ecuación por ser redundante (es igual a la primera): $$\begin{cases} 2x + 2y + 6z = 0 \\ 2x + 2y + 4z = 2 \end{cases}$$ Simplificamos dividiendo ambas ecuaciones por 2: $$\begin{cases} x + y + 3z = 0 \quad (E_1) \\ x + y + 2z = 1 \quad (E_2) \end{cases}$$ Restamos la segunda a la primera ($E_1 - E_2$): $$(x - x) + (y - y) + (3z - 2z) = 0 - 1 \implies z = -1$$ Sustituimos $z = -1$ en la primera ecuación: $$x + y + 3(-1) = 0 \implies x + y = 3 \implies x = 3 - y$$ Para expresar la solución general, tomamos $y$ como parámetro ($y = t$): $$\begin{cases} x = 3 - t \\ y = t \\ z = -1 \end{cases} \quad \forall t \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (3 - t, t, -1) \text{ con } t \in \mathbb{R}}$$