Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para hallar la primitiva $F(x)$, debemos calcular la integral indefinida de la función $f(x)$: $$F(x) = \int \frac{1}{x^2 + x} \, dx$$ Como el denominador es un polinomio de segundo grado, primero lo factorizamos: $$x^2 + x = x(x + 1)$$ Como tenemos raíces reales distintas, descomponemos la fracción en **fracciones simples**: $$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$$ Multiplicando ambos miembros por el denominador común $x(x+1)$: $$1 = A(x+1) + Bx$$ Para hallar los coeficientes $A$ y $B$, asignamos a $x$ los valores de las raíces: - Si $x = 0 \implies 1 = A(0+1) \implies \mathbf{A = 1}$ - Si $x = -1 \implies 1 = B(-1) \implies \mathbf{B = -1}$ Por tanto, la función se puede expresar como: $$\frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$$ 💡 **Tip:** La descomposición en fracciones simples es el método estándar para integrar funciones racionales cuando el grado del numerador es menor que el del denominador.

Sustituimos la descomposición en la integral y aplicamos la linealidad: $$F(x) = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$$ Ambas integrales son de tipo logarítmico inmediato: $$F(x) = \ln|x| - \ln|x+1| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$), simplificamos la expresión: $$F(x) = \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca la constante de integración $C$ al calcular integrales indefinidas, ya que representa a toda la familia de primitivas.

Para encontrar la primitiva específica que nos piden, aplicamos la condición inicial $F(1) = 1$: $$F(1) = \ln \left| \frac{1}{1+1} \right| + C = 1$$ $$\ln \left( \frac{1}{2} \right) + C = 1$$ Recordando que $\ln \left( \frac{1}{2} \right) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2$, tenemos: $$-\ln 2 + C = 1 \implies \mathbf{C = 1 + \ln 2}$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de la primitiva: $$F(x) = \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| + 1 + \ln 2$$ Podemos agrupar los logaritmos para obtener una expresión más compacta: $$F(x) = \ln \left| \frac{2x}{x+1} \right| + 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \ln \left| \frac{2x}{x+1} \right| + 1}$$