Cálculo de parámetros de una función trigonométrica y polinómica

Para resolver este ejercicio, debemos traducir la información del enunciado en condiciones matemáticas sobre la función $f(x)$ y sus derivadas. 1. **Punto de la gráfica:** La gráfica pasa por el punto $(0, 4)$. Esto implica que: $$f(0) = 4$$ 2. **Tangente horizontal:** En el punto $(0, 4)$ hay una tangente horizontal. La pendiente de la recta tangente en un punto $x=a$ es $f'(a)$. Si es horizontal, la pendiente es $0$: $$f'(0) = 0$$ 3. **Segunda derivada:** El enunciado nos da directamente la expresión de la segunda derivada: $$f''(x) = 3 \sin(x) - 10$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la frase "tangente horizontal en el punto $(x_0, y_0)$" siempre aporta dos datos: la función pasa por el punto ($f(x_0) = y_0$) y la derivada es nula ($f'(x_0) = 0$).

Dada la función $f(x) = a \sin(x) + bx^2 + cx + d$, procedemos a derivarla sucesivamente: Primera derivada: $$f'(x) = a \cos(x) + 2bx + c$$ Segunda derivada: $$f''(x) = -a \sin(x) + 2b$$ 💡 **Tip:** Ten en cuenta que la derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$, y la derivada de $\cos(x)$ es $-\sin(x)$.

Igualamos la expresión de $f''(x)$ que hemos calculado con la proporcionada por el enunciado: $$-a \sin(x) + 2b = 3 \sin(x) - 10$$ Para que esta igualdad se cumpla para todo $x \in \mathbb{R}$, comparamos los coeficientes de los términos correspondientes: - Coeficiente de $\sin(x)$: $-a = 3 \implies \mathbf{a = -3}$ - Término independiente: $2b = -10 \implies \mathbf{b = -5}$ $$\boxed{a = -3, \quad b = -5}$$

Utilizamos la condición de la tangente horizontal, $f'(0) = 0$. Sustituimos los valores de $a$ y $b$ conocidos en la expresión de la primera derivada: $$f'(x) = -3 \cos(x) + 2(-5)x + c = -3 \cos(x) - 10x + c$$ Evaluamos en $x = 0$: $$f'(0) = -3 \cos(0) - 10(0) + c = 0$$ $$-3(1) - 0 + c = 0 \implies -3 + c = 0 \implies \mathbf{c = 3}$$ $$\boxed{c = 3}$$

Finalmente, usamos la condición $f(0) = 4$. Escribimos la función con los parámetros ya hallados: $$f(x) = -3 \sin(x) - 5x^2 + 3x + d$$ Sustituimos $x = 0$: $$f(0) = -3 \sin(0) - 5(0)^2 + 3(0) + d = 4$$ $$0 - 0 + 0 + d = 4 \implies \mathbf{d = 4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -3, \; b = -5, \; c = 3, \; d = 4}$$ La función buscada es: $f(x) = -3 \sin(x) - 5x^2 + 3x + 4$.