Posición relativa de tres planos con parámetros

**(a) [1’5 puntos] ¿Cuánto ha de valer $a$ para que no tengan ningún punto en común?** Para que tres planos no tengan ningún punto en común, el sistema de ecuaciones formado por sus ecuaciones debe ser **incompatible** (no tiene solución). Escribimos el sistema: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ ay + z = 0 \\ x + (1 + a)y + az = a + 1 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 1+a & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & a & 1 & | & 0 \\ 1 & 1+a & a & | & a+1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es incompatible si y solo si $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$.

Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo el rango es menor que 3: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 1+a & a \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot a \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot (1+a)) - (1 \cdot a \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot (1+a)) - (a \cdot 0 \cdot 1)$$ $$|A| = a^2 + 1 - (1 + a) = a^2 + 1 - 1 - a = a^2 - a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - a = 0 \implies a(a - 1) = 0$$ Esto nos da dos valores: **$a = 0$** y **$a = 1$**. - Si $a \neq 0$ y $a \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$. El sistema es compatible determinado (un único punto en común).

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 2 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $\text{rango}(A) < 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, entonces **$\text{rango}(A) = 2$**. Calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 2) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 0 \cdot 1) - (2 \cdot 0 \cdot 1)$$ $$\text{Det} = 2 - 1 = 1 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, **$\text{rango}(A^*) = 3$**. Al ser $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **incompatible**. Los planos no tienen puntos en común. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a = 1}$$

**(b) [1 punto] Para $a = 0$, determina la posición relativa de los planos.** Sustituimos $a = 0$ en las ecuaciones originales: $$\pi_1: x + y = 1$$ $$\pi_2: 0y + z = 0 \implies z = 0$$ $$\pi_3: x + (1 + 0)y + 0z = 0 + 1 \implies x + y = 1$$ Observamos las ecuaciones: 1. Las ecuaciones de $\pi_1$ y $\pi_3$ son idénticas: $x + y = 1$. Por tanto, los planos **$\pi_1$ y $\pi_3$ son coincidentes**. 2. El plano $\pi_2$ tiene por ecuación $z = 0$. Su vector normal es $\vec{n}_2 = (0, 0, 1)$. 3. El vector normal de $\pi_1$ y $\pi_3$ es $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$. Como los vectores normales $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ no son proporcionales, el plano $\pi_2$ no es paralelo a los otros dos. 💡 **Tip:** Si dos planos son coincidentes y el tercero no es paralelo a ellos, los tres planos se cortan en una recta (la recta de intersección de $\pi_1$ con $\pi_2$). ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\pi_1 \text{ y } \pi_3 \text{ son coincidentes, y } \pi_2 \text{ los corta en una recta}}$$