Resolución de ecuación matricial

Para resolver la ecuación matricial $AXB = C$, debemos aislar la matriz $X$. Como el producto de matrices no es conmutativo, debemos multiplicar por las matrices inversas en el orden correcto. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha: $$A^{-1}(AXB)B^{-1} = A^{-1}CB^{-1}$$ $$(A^{-1}A)X(BB^{-1}) = A^{-1}CB^{-1}$$ $$I X I = A^{-1}CB^{-1}$$ $$\boxed{X = A^{-1}CB^{-1}}$$ Para que esta solución exista, las matrices $A$ y $B$ deben ser invertibles (su determinante debe ser distinto de cero). 💡 **Tip:** Recuerda que para despejar en ecuaciones matriciales: si multiplicas por la izquierda en un miembro, debes hacerlo por la izquierda en el otro. $A \cdot X = B \implies X = A^{-1} \cdot B$.

Primero, comprobamos si $A$ tiene inversa calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot (-1)) = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Calculamos la matriz adjunta $(\text{adj}(A))$: - $A_{11} = 1$ - $A_{12} = -(-1) = 1$ - $A_{21} = 0$ - $A_{22} = 1$ $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies (\text{adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ La inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj}(A))^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el determinante de $B$ para verificar su invertibilidad: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (que tiene ceros): $$|B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-1) \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = 1 \cdot (-2 + 1) = -1$$ Como $|B| = -1 \neq 0$, existe $B^{-1}$. Calculamos los adjuntos $B_{ij}$: - $B_{11} = + \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1$ - $B_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $B_{13} = + \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $B_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $B_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$ - $B_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $B_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ - $B_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1$ - $B_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1$ Matriz de adjuntos $\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Transponemos: $(\text{adj}(B))^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$. Finalmente: $$B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Ahora aplicamos la fórmula $X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$. Realizamos el cálculo en dos pasos. Primero, multiplicamos $A^{-1} \cdot C$: $$A^{-1} C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3+0) & (1+0) & (2+0) \\ (3+0) & (1+1) & (2-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora, multiplicamos el resultado por $B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3(1)+1(0)+2(0) & 3(0)+1(-2)+2(1) & 3(0)+1(-1)+2(1) \\ 3(1)+2(0)+0(0) & 3(0)+2(-2)+0(1) & 3(0)+2(-1)+0(1) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En el producto de matrices $M_{m \times n} \cdot P_{n \times p}$, el elemento $(i,j)$ se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila $i$ de $M$ por la columna $j$ de $P$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2 \end{pmatrix}}$$