Recta tangente y área entre curvas

**(a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, necesitamos el valor de la función $f(a)$ y de su derivada $f'(a)$. En este caso, $a = 1$. 1. **Calculamos la ordenada del punto:** $$f(1) = (1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5$$ El punto de tangencia es **$(1, 5)$**. 2. **Calculamos la pendiente de la recta tangente ($m$):** Derivamos la función $f(x) = x^2 + 4$: $$f'(x) = 2x$$ Evaluamos en $x = 1$: $$m = f'(1) = 2(1) = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en la abscisa de dicho punto.

Utilizamos la fórmula de la ecuación punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Sustituyendo los valores obtenidos ($a=1$, $f(1)=5$, $f'(1)=2$): $$y - 5 = 2(x - 1)$$ $$y - 5 = 2x - 2$$ $$y = 2x + 3$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = 2x + 3}$$

**(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje de ordenadas y la recta de ecuación $y = 2x + 3$. Calcula su área.** Analizamos los elementos que limitan el recinto: - La parábola $f(x) = x^2 + 4$. - El eje de ordenadas, que es la recta vertical **$x = 0$**. - La recta $g(x) = 2x + 3$ (que es la tangente hallada en el apartado anterior). Buscamos los puntos de corte entre la función y la recta: $$x^2 + 4 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x + 1 = 0$$ $$(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$$ Como la recta es tangente a la parábola en $x = 1$, solo hay un punto de contacto. Por tanto, el recinto está comprendido entre las abscisas **$x = 0$** y **$x = 1$**. Determinamos qué función queda por encima en el intervalo $(0, 1)$ evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x = 0.5$: - $f(0.5) = (0.5)^2 + 4 = 4.25$ - $g(0.5) = 2(0.5) + 3 = 4$ Como $f(0.5) \gt g(0.5)$, la función $f(x)$ está por encima de la recta $g(x)$ en el intervalo.

El área $A$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones entre los límites $x=0$ y $x=1$: $$A = \int_{0}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{0}^{1} [x^2 + 4 - (2x + 3)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 \right)$$ $$A = \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** En este caso, la función a integrar es un cuadrado perfecto: $(x-1)^2$. Podrías haber integrado como $\frac{(x-1)^3}{3}$ directamente. ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{1}{3} \text{ u}^2}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de la parábola $f(x)$, la recta $y=2x+3$ y el área del recinto sombreada entre el eje $Y$ ($x=0$) y el punto de tangencia ($x=1$).