Parámetros y extremos absolutos en funciones a trozos

**(a) [1’75 puntos] Sabiendo que $f$ es derivable en todo el dominio y que verifica $f(0) = f(4)$, determina los valores de $a, b$ y $c$.** Para que la función sea derivable en todo el dominio $[0, 4]$, primero debe ser **continua** en dicho dominio. El único punto de posible discontinuidad es el salto entre intervalos en $x = 2$. Calculamos los límites laterales en $x = 2$: 1. Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + ax + b) = 2^2 + 2a + b = 4 + 2a + b$$ 2. Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (cx) = 2c$$ Para que sea continua, ambos deben coincidir: $$4 + 2a + b = 2c$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre comprueba primero la continuidad.

Para que $f$ sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales. Derivamos las ramas de la función: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } 0 \lt x \lt 2 \\ c & \text{si } 2 \lt x \lt 4 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales: 1. Por la izquierda: $f'(2^-) = 2(2) + a = 4 + a$ 2. Por la derecha: $f'(2^+) = c$ Igualamos para asegurar la derivabilidad: $$4 + a = c \implies \mathbf{c = 4 + a}$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, la derivada en el punto de unión solo existe si el límite de la función derivada por ambos lados es el mismo.

Utilizamos la última condición dada por el enunciado: $f(0) = f(4)$. - $f(0)$ se calcula en la primera rama: $f(0) = 0^2 + a(0) + b = b$ - $f(4)$ se calcula en la segunda rama: $f(4) = c(4) = 4c$ Por tanto: **$b = 4c$** Ahora resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1. $4 + 2a + b = 2c$ 2. $c = 4 + a$ 3. $b = 4c$ Sustituimos $b = 4c$ y $c = 4+a$ en la primera ecuación: $$4 + 2a + 4c = 2c \implies 4 + 2a + 2c = 0$$ Sustituimos $c$ por $(4+a)$: $$4 + 2a + 2(4 + a) = 0 \implies 4 + 2a + 8 + 2a = 0 \implies 12 + 4a = 0 \implies a = -3$$ Calculamos $c$ y $b$: - $c = 4 + (-3) = 1$ - $b = 4(1) = 4$ ✅ **Resultado (valores de los parámetros):** $$\boxed{a = -3, \quad b = 4, \quad c = 1}$$

**(b) [0’75 puntos] Para $a = -3, b = 4$ y $c = 1$ halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Con los valores hallados, la función es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 4 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ x & \text{si } 2 \lt x \le 4 \end{cases}$$ Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[0, 4]$, debemos evaluar la función en: 1. Los puntos donde $f'(x) = 0$. 2. Los extremos del intervalo ($x=0$ y $x=4$). Analizamos $f'(x)$: - En $(0, 2)$: $f'(x) = 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$ - En $(2, 4)$: $f'(x) = 1 \neq 0$ (no hay puntos críticos aquí) El valor $x = 1.5$ pertenece al primer intervalo, por lo que es un candidato. 💡 **Tip:** El teorema de Weierstrass garantiza que una función continua en un intervalo cerrado alcanza siempre su máximo y su mínimo absoluto.

Evaluamos los candidatos obtenidos: - Extremo izquierdo: $f(0) = 0^2 - 3(0) + 4 = 4$ - Punto crítico: $f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 4 = 2.25 - 4.5 + 4 = 1.75$ - Extremo derecho: $f(4) = 4$ **Tabla de monotonía de la función:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & (0, 1.5) & 1.5 & (1.5, 4) & 4 \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ f(x) & 4 & \searrow & 1.75 & \nearrow & 4 \end{array}$$ Comparando los valores: - El valor máximo es **4**, que se alcanza en **$x = 0$** y **$x = 4$**. - El valor mínimo es **1.75**, que se alcanza en **$x = 1.5$**. ✅ **Resultado (extremos absolutos):** $$\boxed{\text{Máximo absoluto: } (0, 4) \text{ y } (4, 4); \quad \text{Mínimo absoluto: } (1.5, 1.75)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\{0 \\le x \\le 2: x^2 - 3x + 4, 2 < x \\le 4: x\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max1", "latex": "(0, 4)", "color": "#ef4444", "label": "Máx Abs" }, { "id": "min", "latex": "(1.5, 1.75)", "color": "#16a34a", "label": "Mín Abs" }, { "id": "max2", "latex": "(4, 4)", "color": "#ef4444", "label": "Máx Abs" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 4.5, "bottom": 0, "top": 5 } } }