Ecuación de un plano paralelo a una recta y que contiene a otra

Para determinar la ecuación de un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). El enunciado nos dice que el plano contiene a la recta $s$. De la ecuación paramétrica de la recta $s$: $$\begin{cases} x = 1 - 5\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases}$$ Podemos extraer directamente un punto $P_s$ y su vector director $\vec{u_s}$: - Punto de la recta: $P_s = (1, -2, 2)$ - Vector director: $\vec{u_s} = (-5, 3, 2)$ Como el plano contiene a la recta $s$, el punto $P_s$ pertenecerá al plano y el vector $\vec{u_s}$ será uno de los vectores directores del plano. 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas de la recta, los coeficientes que acompañan al parámetro $\lambda$ forman el vector director, y los términos independientes forman el punto.

El plano buscado es paralelo a la recta $r$. Esto significa que el vector director de $r$, al que llamaremos $\vec{v_r}$, también será un vector director del plano. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos (forma implícita): $$\begin{cases} x - 2y + 11 = 0 \\ 2y + z - 19 = 0 \end{cases}$$ Los vectores normales de estos planos son $\vec{n_1} = (1, -2, 0)$ y $\vec{n_2} = (0, 2, 1)$. El vector director de la recta $r$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v_r} = [(-2) \cdot 1]\vec{i} + [0 \cdot 0]\vec{j} + [1 \cdot 2]\vec{k} - [0 \cdot (-2)]\vec{k} - [2 \cdot 0]\vec{i} - [1 \cdot 1]\vec{j}$$ $$\vec{v_r} = -2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$$ $$\boxed{\vec{v_r} = (-2, -1, 2)}$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que definen una recta siempre nos da el vector director de dicha recta.

Para construir el plano $\pi$ que buscamos, recopilamos la información obtenida: - Contiene a $s \implies P_s(1, -2, 2) \in \pi$ y $\vec{u_s} = (-5, 3, 2)$ es vector director. - Es paralelo a $r \implies \vec{v_r} = (-2, -1, 2)$ es vector director. Antes de continuar, comprobamos que los vectores $\vec{u_s}$ y $\vec{v_r}$ no son proporcionales (para asegurar que definen un plano): $$\frac{-5}{-2} \neq \frac{3}{-1}$$ Como no son proporcionales, los vectores son linealmente independientes y el plano está bien definido.

La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos del plano: $$\begin{vmatrix} x - x_{P_s} & y - y_{P_s} & z - z_{P_s} \\ u_{s1} & u_{s2} & u_{s3} \\ v_{r1} & v_{r2} & v_{r3} \end{vmatrix} = 0$$ Sustituyendo los valores: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y + 2 & z - 2 \\ -5 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$(x-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (y+2) \cdot \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} + (z-2) \cdot \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: - $(x-1) \cdot [3(2) - 2(-1)] = (x-1) \cdot (6+2) = 8(x-1)$ - $-(y+2) \cdot [(-5)(2) - 2(-2)] = -(y+2) \cdot (-10+4) = -(y+2)(-6) = 6(y+2)$ - $(z-2) \cdot [(-5)(-1) - 3(-2)] = (z-2) \cdot (5+6) = 11(z-2)$ Operamos para obtener la ecuación implícita: $$8x - 8 + 6y + 12 + 11z - 22 = 0$$ $$8x + 6y + 11z - 18 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{8x + 6y + 11z - 18 = 0}$$