Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**(a) [1’75 puntos] Discute, según los valores del parámetro $\lambda$, el siguiente sistema de ecuaciones** $$\begin{cases} -x + \lambda y + z = \lambda \\ \lambda x + 2y + (\lambda + 2)z = 4 \\ x + 3y + 2z = 6 - \lambda \end{cases}$$ En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 2 & \lambda + 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & \lambda & 1 & \lambda \\ \lambda & 2 & \lambda + 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 6 - \lambda \end{array}\right)$$ El estudio del sistema se basa en comparar los rangos de estas matrices mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ (nº de incógnitas), el sistema es compatible determinado (SCD). Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$, es compatible indeterminado (SCI). Si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, es incompatible (SI).

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus para hallar los valores críticos de $\lambda$: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 2 & \lambda + 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1) \cdot 2 \cdot 2 + \lambda \cdot (\lambda + 2) \cdot 1 + 1 \cdot \lambda \cdot 3] - [1 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot (\lambda + 2) \cdot (-1) + 2 \cdot \lambda \cdot \lambda]$$ $$|A| = [-4 + \lambda^2 + 2\lambda + 3\lambda] - [2 - 3\lambda - 6 + 2\lambda^2]$$ $$|A| = [\lambda^2 + 5\lambda - 4] - [2\lambda^2 - 3\lambda - 4]$$ $$|A| = \lambda^2 + 5\lambda - 4 - 2\lambda^2 + 3\lambda + 4 = -\lambda^2 + 8\lambda$$ Igualamos a cero para encontrar los valores que anulan el determinante: $$-\lambda^2 + 8\lambda = 0 \implies \lambda(-\lambda + 8) = 0$$ Obtenemos los valores críticos: **$\lambda = 0$** y **$\lambda = 8$**. $$\boxed{|A| = \lambda(8 - \lambda)}$$

Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 8$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que $\text{rg}(A)$) - Número de incógnitas $n = 3$ Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una única solución. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0, 8\} \implies \text{SCD}}$$

Sustituimos $\lambda = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 6 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos ahora el rango de $A^*$. Tomamos el menor que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 6 \end{vmatrix} = -1 \cdot (12 - 12) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 posibles son cero, $\text{rg}(A^*) = 2$. Dado que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 0 \implies \text{SCI}}$$

Sustituimos $\lambda = 8$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 8 & 1 & 8 \\ 8 & 2 & 10 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rg}(A) < 3$. Comprobamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -1 & 8 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 64 = -66 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ tomando el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 8 & 8 \\ 8 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = -1(-4 - 12) - 8(-16 - 4) + 8(24 - 2)$$ $$= 16 + 160 + 176 = 352 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 8 \implies \text{SI}}$$

**(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema anterior para $\lambda = 0$.** Para $\lambda = 0$, el sistema es SCI y el rango es 2. Podemos eliminar una ecuación (la tercera, por ser combinación lineal de las otras) y quedarnos con un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas: $$\begin{cases} -x + z = 0 \\ 2y + 2z = 4 \end{cases}$$ Parametrizamos una incógnita, por ejemplo $z = t$: 1. De la primera ecuación: $x = z = t$. 2. De la segunda ecuación: $2y = 4 - 2z \implies y = 2 - z = 2 - t$. La solución general es: $$\begin{cases} x = t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases} \quad \forall t \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba la solución en la ecuación que descartaste: $x + 3y + 2z = t + 3(2-t) + 2t = t + 6 - 3t + 2t = 6$. Como el término independiente era $6 - \lambda = 6 - 0 = 6$, la solución es correcta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (t, 2-t, t) \text{ con } t \in \mathbb{R}}$$